[组合] 扯一扯简单传球问题的化简公式

这里的“简单传球问题”是指“无线路限制的 $n\geqslant 3$ 人传 $m$ 次球的传球方式计数问题”，之前在《数学空间》第 4 期中，战巡已经给出一个终极解法，除了解决上述简单情形外，还能解决更复杂的有线路限制的情形。

又话说刚才网友“依然饭特稀”给我发了一篇文章（原文见附件），里面提到如下方法但并未给出证明。

$n$ 个人传 $m$ 次球，记 $x=\dfrac{(n-1)^m}n$，则与 $x$ 最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与 $x$ 第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。

初看感觉有点神，因为这个 $x$ 其实就是 $\frac{\text{所有传球方式总数}}{\text{人数}}$，也就是取平均值，竟然对平均值作两边取整就是所求结果。
后来想了想，再看看用常规方法计算出来的公式，马上就知道原由了。

按照以往常规的办法（递推之类的）可以计算出，球传给“非自己的某人”的方法数 $a(n,m)$ 以及传回自己的方法数 $b(n,m)$ 分别是
\begin{align*}
a(n,m)&=\frac{(n-1)^m-(-1)^m}n,\\
b(n,m)&=\frac{(n-1)^m+(n-1)(-1)^m}n,
\end{align*}
因此
\begin{align*}
a(n,m)&=x-\frac{(-1)^m}n,\\
b(n,m)&=x+\frac{(n-1)(-1)^m}n,
\end{align*}
$a(n,m)$, $b(n,m)$ 都是整数且 $\bigl(a(n,m)-x\bigr)\bigl(b(n,m)-x\bigr)<0$，所以 $x$ 在两结果之间，又由 $n\geqslant3$ 有\[0<\left|\frac{(-1)^m}n\right|<0.5<\left|\frac{(n-1)(-1)^m}n\right|<1,\]所以就有上述结论。

所以，这个方法其实就是对原结果的一种化简公式，而且还方便了记忆，还是有一定益处的。
当然了，如果有线路限制，这种方法就使不得了，所以个人认为原文有标题党成份。

原文附件：