[不等式] 皮蛋深夜发题

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2012-9-29 03:00

实数 $x$, $y$, $z$ 满足 $x+y+z=0$ 且 $x^2+y^2+z^2=1$，记 $m$ 为 $x^2$, $y^2$, $z^2$ 中的最大者，则 $m$ 的最小值为______。


发贴时觉得有玩头，发完才发现……呃：

由于 $x$, $y$, $z$ 中必有两者同号（约定 $0$ 与任何实数同号），由对称性，不妨设 $x$, $y$ 同号，则显然 $m=z^2$，且 $1=2z^2-2xy\leqslant2z^2$，故 $m\geqslant1/2$，当 $x=0$, $y=-1/\sqrt2$, $z=1/\sqrt2$ 时取等。

找到取最值的条件就没得搞了…

2# nash

话说你说“类似题”是不是指类似于这个 $\min\bigl\{\max\{a^2, b^2, 1-(a+b)^2\}\bigr\}$ ？

3# kuing




不过这个比上面那个药麻烦些

4# nash

都不麻烦，但其实主要是方法不太相同……

1# kuing


学习了。几何意义貌似是球与平面的交线（圆）在轴上的投影，这样可直接了。