[几何] 在超级群里看到的一道几何题，未证完，还差一点，待续

(71.63 KB)

2012-9-25 00:30

如图所示，分别记左右两边的圆的半径为 $r$ 和 $R$。

(10.78 KB)

2012-9-25 00:42

先证明如果 $PQ\sslash CD$ 则也必有 $PH\sslash BE$，反之亦然。这是因为
\[PQ\sslash CD \iff \angle QAC=\angle PAD \iff \angle HAE=\angle PAB \iff PH\sslash BE,\]
因此可以不妨设 $AG$ 与左边的圆的另一交点 $H$ 在 $A$ 与 $Q$ 之间。那么
\begin{align*}
PQ\sslash CD \iff{}& PQ\sslash CD~\text{且}~PH\sslash BE\\
\iff{}& \angle Q=\angle AGD~\text{且}~\angle PHQ=\angle AGE\\
\riff{}& \frac{\sin\angle Q}{\sin\angle PHQ}=\frac{\sin\angle AGD}{\sin\angle AGE}\\
\iff{}& \frac{PH}{PQ}=\frac{\sin\angle AGD}{\sin\angle AGE}\\
\iff{}& \frac{2r\cdot\sin\angle PAH}{2R\cdot\sin\angle PAQ}=\frac{\sin\angle AGD}{\sin\angle AGE}\\
\iff{}& \frac{\frac{AB}{\sin\angle AEB}}{\frac{AC}{\sin\angle ADC}}=\frac{\sin\angle AGD}{\sin\angle AGE}\\
\iff{}& \frac{AB}{AC}=\frac{\sin\angle AGD}{\sin\angle ADC}\frac{\sin\angle AEB}{\sin\angle AGE}\\
\iff{}& \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AG}\frac{AG}{AE}\\
\iff{}& \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\\
\iff{}& DE\sslash BC,
\end{align*}
这样，只差第二、三行那个反推，也就是说，假如能证明由 $\frac{\sin\angle Q}{\sin\angle PHQ}=\frac{\sin\angle AGD}{\sin\angle AGE}$ 可以推出 $\angle Q=\angle AGD$ 且 $\angle PHQ=\angle AGE$ 就可以了，待续……

时间关系先闪，又要等平几高手出马了……