[不等式] 恒成立

已知$f(x)=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$，是否存在正常数$\alpha$，使得不等式$f(x)=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le 2-\dfrac{x^2}{\alpha}$对$\forall x \in [0,1]$恒成立？若存在，求出最小的正数$\alpha$，否则说明理由.(求除了换元令$t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$之外的方法)

还是野猪在网刊里写的那种方法方便哟，首先当 $x\ne0$ 时，分离变量为\[
\alpha \geqslant \frac{x^2}{2 - \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x}}
\]可以求出\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2 - \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x}} = 4
\]所以必要条件是 $\alpha\geqslant4$，再证充分证，当 $\alpha=4$，不等式为\[
\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \leqslant 2 - \frac{x^2}4
\]右边显然为正，故两边平方等价为\[
2 + 2\sqrt {1 - x^2 } \leqslant 4 - x^2 + \frac{x^4}{16}\iff\sqrt {1 - x^2 } \leqslant 1 - \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{32}
\]这是显然成立的，因为\[
\sqrt {1 - x^2 } \leqslant \sqrt {1 - x^2 + \frac{x^4}4} = 1 - \frac{x^2}2 \leqslant 1 - \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{32}
\]

2# kuing

:D谢了！

补充一下求极限那里，可以不用洛必达，不断分母有理化即可：
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{{x^2 }}{{2 - \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }} &= \lim_{x \to 0} \frac{{x^2 \bigl(2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \bigr)}}{{4 - \bigl(\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \bigr)^2 }} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{{x^2 \bigl(2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \bigr)}}{{2 - 2\sqrt {1 - x^2 } }} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{{x^2 \bigl(2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \bigr)\bigl(2 + 2\sqrt {1 - x^2 } \bigr)}}{{4 - 4(1 - x^2 )}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{{\bigl(2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \bigr)\bigl(1 + \sqrt {1 - x^2 } \bigr)}}{2} \\
&= 4
\end{align*}

方法2，接kuing四楼，（分离参数法）
\begin{align*}
\alpha\ge \frac{{x^2 }}{{2 - \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }} &= \frac{{\bigl(2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \bigr)\bigl(1 + \sqrt {1 - x^2 } \bigr)}}{2} \\
\end{align*}
\begin{align*}
g(x)=\frac{{\bigl(2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \bigr)\bigl(1 + \sqrt {1 - x^2 } \bigr)}}{2}
\end{align*}
$$g'(x)=\frac{-3x\sqrt{1-x}+(-1-2x)\sqrt{1+x}-4x}{\sqrt{1-x^2}}<0$$
    所以，g(x)为[0,1]上的减函数，故，$\alpha \ge4$

再发换元$t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$,$t\in [\sqrt{2},2]$,易求得$\alpha \ge\dfrac{(\frac{t^2}{2}-1)^2-1}{t-2}=\dfrac{t^2}{4}(t+2)=h(t)$,
$h'(x)=\dfrac{t}{2}(\dfrac{3t}{2}+1)>0$,所以$h(x)$的最大值为4，即证.

5# wenshengli


我写完4楼那里的时候我就想过既然能有理化成这样可能就不必求极限了，不过后来还是懒得去判断单调性，所以就没理了。。。
判断单调性还要求导，还是求个极限简单，充分性也非常容易证。