[不等式] 来自群的指数不等式（from 秋风）

爱好者秋风树林(5221*****)  12:42:48
   求证 $yx^y(1-x)<e^{-1}$
   区域是 $0<x<1$, $y>0$



proof: 由年轻不等式（Young's inequality，又或者说是加权均值不等式），有
\[x^{\frac y{y+1}}\cdot \bigl(y(1-x)\bigr)^{\frac1{y+1}}\leqslant \frac{xy}{y+1}+\frac{y(1-x)}{y+1}=\frac y{y+1},\]
所以
\[yx^y(1-x) \leqslant \left(\frac y{y+1}\right)^{y+1},\]
于是只要证
\[\left(\frac y{y+1}\right)^{y+1}<e^{-1},\]
即
\[\left(1+\frac1y\right)^{y+1}>e,\]
这是熟知的。


PS、其实有点想放到高等数学版块。

果然厉害，我从来没用过这个 $ a^\alpha b^\beta\leqslant a\alpha+b\beta $

嗯，我相当于用导数得出了kk第二行的不等式

3# 秋风树林

嗯，一样
年轻不等式可以用导数证