一道对数比较大小题

近期网络上流传一道比较对数大小的题，请各路高手围攻。。


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求证：\[\log_{\frac14}\frac87>\log_{\frac15}\frac54\]

暴力个:

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2012-9-21 20:01

本来没什么兴趣看这种题，不过既然发在这了，现在又闲，还是……：

\begin{align*}
\log_{\frac14}\frac87>\log_{\frac15}\frac54&\iff\log_4\frac78>\log_5\frac45 \\
&\iff\log_4\frac78+\log_416>\log_5\frac45+\log_525 \\
&\iff\log_414>\log_520,
\end{align*}
所以只要证 $f(x)=\log_x(6x-10)$ 在 $[4,+\infty)$ 上递减。求导有
\[f'(x)=-\frac{(3x-5)\ln(6x-10)-3x\ln x}{x(3x-5)\ln^2x},\]
所以只要证 $g(x)=(3x-5)\ln(6x-10)-3x\ln x$ 在 $[4,+\infty)$ 上恒正。求导有
\[g'(x)= 3\ln(6x-10)-3\ln x>0,\]
所以只要证 $g(4)>0$，即 $7\ln14>12\ln4$，也即 $7\ln7>17\ln2$，事实上，有
\[7\ln7=\frac72\ln49>\frac72\ln32=\frac{35}2\ln2>17\ln2,\]
所以原不等式成立。