[组合] 请教一个集合的竞赛题，先谢谢了

1．已知集合$P$是$M=\{x|1\le x\le 2000,x\in N\}$的子集，且$P$中任意两个元素的差都不等于4也不等于7，试问$P$中元素最多可以包含多少个？

抽屉原理,考察{1,2…… 11}
{1,5}{2,6}{3,7}{4,8}{5,9}{6,10}{7,11}{1,8}{2,9}{3,10}{4,11}这11个子集中，1,2…… 11任意取6个元素，必有2个同属于11个子集中的某一个，
所以{1,2 ……11}中至多有5个符合题意
下面构造{1,3,4,6,9}
然后{11K+1,3,4，6,9；K=0,1…… 181}
所以共有182*5=910个

2# nash


谢谢了！