来自pep的一道根式极限

来自 http://bbs.pep.com.cn/thread-2585495-1-1.html

题目：求根极
\[\lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}.\]

有理化，有
\begin{align*}
& \sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x} \\
={}&\frac{\sqrt[3]{(x^3+3x^2)^2}-(x^2-2x)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}} \\
={}&\frac{(x^3+3x^2)^2-(x^2-2x)^3}{\bigl(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\bigr)\bigl(\sqrt[3]{(x^3+3x^2)^4}+\sqrt[3]{(x^3+3x^2)^2}(x^2-2x)+(x^2-2x)^2\bigr)} \\
={}&\frac{x^3(12x^2-3x+8)}{\bigl(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\bigr)\bigl(\sqrt[3]{(x^3+3x^2)^4}+\sqrt[3]{(x^3+3x^2)^2}(x^2-2x)+(x^2-2x)^2\bigr)} \\
={}&\frac{12-\frac3x+\frac8{x^2}}{\frac{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}x\cdot \frac{\sqrt[3]{(x^3+3x^2)^4}+\sqrt[3]{(x^3+3x^2)^2}(x^2-2x)+(x^2-2x)^2}{x^4}} \\
={}&\frac{12-\frac3x+\frac8{x^2}}{\Bigl(\sqrt[3]{1+\frac3x}+\sqrt{1-\frac2x}\Bigr)\Bigl(\sqrt[3]{\bigl( 1+\frac3x\bigr)^4}+\sqrt[3]{\bigl(1+\frac3x\bigr)^2}\bigl(1-\frac2x\bigr)+\bigl(1-\frac2x\bigr)^2 \Bigr)},
\end{align*}
所以极限显然为$12/(1+1)(1+1+1)=2$

很长时间没有看到K版在人教哪边发贴了，下次直接发到这边！

2# hongxian

主要是这里打公式方便，就懒得在那边回了。