[不等式] 一个复数模不等式（from 秋风）挺好看的

设 $z_1$, $z_2\in\mbb C$ 且 $\abs{z_1}$, $\abs{z_2}<1$，求证
\[\frac{\abs{z_1}-\abs{z_2}}{1-\abs{z_1}\cdot\abs{z_2}}\leqslant \left| \frac{z_1+z_2}{1+\overline{z_1}z_2} \right|\leqslant \frac{\abs{z_1}+\abs{z_2}}{1+\abs{z_1}\cdot\abs{z_2}}.\]

解：
只证右边，左边类似。

注意到 $\abs{z}^2=z\cdot\overline z$，于是
\begin{align*}
\left| \frac{z_1+z_2}{1+\overline{z_1}z_2} \right|\leqslant \frac{\abs{z_1}+\abs{z_2}}{1+\abs{z_1}\cdot\abs{z_2}}
&\iff \frac{z_1+z_2}{1+\overline{z_1}z_2}\cdot\frac{\overline{z_1}+\overline{z_2}}{1+z_1\overline{z_2}}\leqslant \frac{(\abs{z_1}+\abs{z_2})^2}{(1+\abs{z_1}\cdot\abs{z_2})^2}\\
&\iff \frac{(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})}{(1+\overline{z_1}z_2)(1+z_1\overline{z_2})}-1\leqslant \frac{(\abs{z_1}+\abs{z_2})^2}{(1+\abs{z_1}\cdot\abs{z_2})^2}-1\\
&\iff \frac{z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}-1-z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}}{(1+\overline{z_1}z_2)(1+z_1\overline{z_2})}\leqslant \frac{\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2-1-\abs{z_1}^2\abs{z_2}^2}{(1+\abs{z_1}\cdot\abs{z_2})^2},
\end{align*}
因为
\[z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}-1-z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2-1-\abs{z_1}^2\abs{z_2}^2 =-(1-\abs{z_1}^2)(1-\abs{z_1}^2)<0,\]
所以只要证
\[(1+\overline{z_1}z_2)(1+z_1\overline{z_2})\leqslant (1+\abs{z_1}\cdot\abs{z_2})^2,\]
即
\[\abs{1+\overline{z_1}z_2}\leqslant 1+\abs{\overline{z_1}}\cdot\abs{z_2},\]
显然成立。

先回复一个
但愿我的那个方法能符合糖水不等式的条件。。。

1# kuing


让我看看清新淡雅传奇性感的复数不等式，可别告诉我就是三点式啊。

看一下！