[不等式] 来自pep的条件简单不等式$x+y+z=xyz,\sum\frac1{1+xy}_\max$

问题来自 http://bbs.pep.com.cn/thread-1903753-1-1.html

已知 $x$、$y$、$z$ 是正实数，且 $x+y+z=xyz$，求 $\dfrac1{1+xy}+\dfrac1{1+yz}+\dfrac1{1+zx}$ 的最大值。

由条件及柯西不等式得\[
\frac1{1+xy}=\frac1{1+\frac{x+y+z}z}=\frac z{z+x+y+z}=\frac z4\cdot\frac4{z+x+y+z}\leqslant\frac z4\left(\frac1{z+x}+\frac1{y+z}\right)
\]另外两项同理，故\[
\sum\frac1{1+xy}\leqslant\frac14\sum\left(\frac z{z+x}+\frac z{y+z}\right)=\frac14\sum\left(\frac z{z+x}+\frac x{z+x}\right)=\frac34
\]当 $x=y=z=\sqrt3$ 时取等号。