翻群聊记录捞到的一道三角形小题

话说几天上不了网，今晚终于能上之际，指定动作——翻群聊记录，看看有没有讨论什么好题。
结果你应该能想象到，很难捞，因为现在是“diao鱼”热潮，各个群里用口水来“diao鱼”的“zhengzhi家”一堆堆，要从中捞到好的数学题得不断翻页。

言归正传，刚才捞到的是以下题目：

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2012-9-17 01:38

$\triangle ABC$ 满足下式，判断三角形的类型。
\[\frac{a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}=\frac{9R}{2p},\]
其中 $R$, $p$ 分别为外接圆的半径和三角形的半周长。

形式看着不错，难度适中，可以玩玩。

请自己先试试解一解，说不定你解得比我简单。

高手可以略过。



\begin{gather*}
\sum a\sin A=\frac{\sum a^2}{2R}, \\
\sum a\cos A=\sum\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{2bc}=\frac{\sum a^2(b^2+c^2-a^2)}{2abc}=\frac{2\sum a^2b^2-\sum a^4}{2abc}=\frac{8S^2}{abc}=\frac{abc}{2R^2},
\end{gather*}
故
\[\frac{\sum a\sin A}{\sum a\cos A}=\frac{9R}{2p}\iff\frac{\frac{\sum a^2}{2R}}{\frac{abc}{2R^2}}=\frac{9R}{\sum a}\iff\sum a\sum a^2=9abc,\]
故显然等边。事实上也可以写成不等式的形式，不过左边很大，不等式太弱，好像也没写的必要。

本来还看到一道 分式、高次开根号、阶乘、求和 的不等式，不过怀疑后面有输入错误，就先不发上来了。

不会做，回复看答案

正三角形？