[不等式] lbq的三角形三边等差取等的三角函数不等式

在 $\triangle ABC$ 中，求证
\[\cos^3\frac B2\cos^3\frac C2\geqslant\frac{27}4\sin^2\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2.\]

转自 http://www.irgoc.org/viewtopic.php?f=28&t=1064

lbq 的证法有点复杂，其实用积化和差很简单。
记 $t=\cos\frac{B+C}2$, $u=\cos\frac{B-C}2$，则 $t$, $u>0$，且由积化和差公式，有
\begin{align*}
\cos\frac B2\cos\frac C2&=\frac{t+u}2,\\
\sin\frac B2\sin\frac C2&=\frac{u-t}2,\\
\sin\frac A2&=t,
\end{align*}
所以原不等式等价于
\[\left(\frac{t+u}2\right)^3\geqslant \frac{27}8t^2(u-t)\iff\frac18(2t-u)^2(7t+u)\geqslant 0,\]
显然成立，等号成立当且仅当
\begin{align*}
2t=u &\iff 3t=t+u\\
&\iff 3\sin\frac A2=2\cos\frac B2\cos\frac C2\\
&\iff 3\sin\frac A2\cos\frac A2=2\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2\\
&\iff \frac32\sin A=\frac12(\sin A+\sin B+\sin C)\\
&\iff 2\sin A=\sin B+\sin C\\
&\iff 2a=b+c,
\end{align*}
即仅当三角形三边成等差数列时取等号。