[不等式] 来自群的一道看上去有点玩头的三角函数不等式

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2012-9-11 03:15

$a$, $b\in(0,\pi/4)$ and $n\in\mbb N$
\[\frac{\sin^na+\sin^nb}{(\sin a+\sin b)^n}\geqslant\frac{\sin^n2a+\sin^n2b}{(\sin2a+\sin2b)^n}.\]

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:56 分类

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
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realnumber

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2^#

发表于 2012-9-11 16:47

本帖最后由 realnumber 于 2012-9-11 16:50 编辑

想出来了,不妨设a≥b
,要证明的就这个$x^n+(1-x)^n≥y^n+(1-y)^n$,$x=\frac{sina}{sina+sinb},y=\frac{sin2a}{sin2a+sin2b}$
而函数$f(x)=x^n+(1-x)^n $,在0<x<0.5单调递减,在1>x>0.5单调递增
如此要证明原不等式成立,只需要证明x≥y,这个简单,化简下,等价于cosb≥cosa,成立

kuing

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3^#

发表于 2012-9-11 16:59

2# realnumber

nice!
long time no see 啊

realnumber

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4^#

发表于 2012-9-11 17:20

心神不宁,休息段时间

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