[不等式] how to CS it? (2)

$a,b,c,x,y,z \geq 0 $ with $x+y+z=a+b+c $ show that:
\[ ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+xyz\ge 4abc \]

证明:假设其中一个数为$0$, 不妨设$z=0$, 于是有$a+b+c=x+y$, 此时注意到 $(ax^2+by^2)(a+b)-ab(x+y)^2=(ax-by)^2\geq 0$, 于是有
\[ax^2+by^2\geq \frac{ab(x+y)^2}{a+b}=\frac{ab(a+b+c)^2}{a+b}\geq 4abc\]
则原不等式成立.所以我们只需考虑$a,b,c,x,y,z$均为正数。
首先证明一个引理:对正数$a,b,c,x,y,z$满足$a+b+c=x+y+z$, 则
\[ax(a+x)+by(b+y)+cz(c+z)\geq 3(abc+xyz)\]
引理证明:由$Cauchy$不等式有
\[a^2x+b^2y+c^2z\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{xyz(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}\]
\[ax^2+by^2+cz^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\]
以上两式相加可得
\[ax(a+x)+by(b+y)+cz(c+z)\geq \frac{xyz(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}+\frac{abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3(abc+xyz)\]
则引理得证.
回到原不等式,采用反证法,假设原不等式不成立,则有$ax^2+by^2+cz^2+xyz<4abc$, 则由原不等式的对称性, 将$a,b,c$ 与$x,y,z$置换,则亦有$xa^2+yb^2+zc^2+abc<4xyz$,将这两式相加,即有$ax(a+x)+by(b+y)+cz(c+z)<3(abc+xyz)$,与引理矛盾!故假设不成立.于是原不等式得证.