[数论] 请问一个整数的题

设m，n是正整数，$0<\sqrt{n}-\sqrt{m}<1$，求证不能从区间$[m,n]$中选出四个不同的整数a、b、c、d，使得ab=cd

此题已想到好的解决方法，现在手机党中，晚上或者明天补上.

证明如下：我们可以设：$m=e^2+f,  n=e^2+f+h     f为自然数，e,h为正整数，并且4\leqslant h<2e+1想想为什么这样设？$   并且我们设:$e^2+f\leqslant a<b<c<d\leqslant e^2+f+h$
因为：$ab<cd, ac<bd$,所以我们只需要去证明：$ad\ne bc$即可。接下来我们用反证法，证法如下：
假设：$ad=bc$,则我们可设：$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}=\frac{p}{q}(1),其中p>q,(p,q)=1,p,q为正整数$
于是我们就有:$p\geqslant q+1,  \frac{p}{q}\geqslant1+\frac{1}{q}$,  由（1）我们可以知道：a,b是q的倍数
且b>a,则有：$b\geqslant a+q,  \frac{p}{q}=\frac{d}{b}\leqslant\frac{d}{a+q}\leqslant  \frac{e^2+f+h}{e^2+f+q}$
于是我们就有：$1+\frac{1}{q}\leqslant\frac{p}{q}\leqslant  \frac{e^2+f+h}{e^2+f+q}（2）,而我们又有：e^2+q^2+f+q\geqslant 2eq+f+q,  hq<(2e+1)q=2eq+q(这里利用到了题设），所以（2）式是不能够成立的$
矛盾，故有：$ad\ne bc$

今天就先到这里吧，昨天由于爪机所以重复发帖了，所以今天的解答就在楼上

3# yizhong
谢谢。 第一步的等价没看懂，如果是$\sqrt{10}-\sqrt{5}<1$，怎么设这两个平方数呢？请再提示一下好吗？
我按3楼的提示做了一下，从“证明如下”开始到“a,b是q的倍数”都是按照3楼的提示，然后是
$\frac{q+1}{q} \leqslant \frac{p}{q} = \frac{d}{b} \leqslant \frac{d}{a+q} \leqslant \frac{n}{a+q} \leqslant \frac{n}{m+q}$，所以得到$q^2+m+q+(m-n)q \leqslant 0$
然后$1 \leqslant q$，得到$1+m+1+(m-n) \leqslant q^2+m+q+(m-n)q \leqslant 0$，即$2(m+1) \leqslant n$
所以$\sqrt{2(m+1)}\leqslant\sqrt{n}<\sqrt{m}+1$，两边平方得$m-2\sqrt{m}+1<0$，就是$(\sqrt{m}-1)^2<0$，得出矛盾。

好吧，今天我比较匆忙，改天再详细写下，其实道理都差不多，我省略了一些

重新写过的证明照旧发在3楼  5楼的朋友你可以再详细看下
另外事实上那个h是可以为2e+1的

7# yizhong
谢谢，我理解了，非常感谢。