[不等式] 来自群的似曾相识三角形绝对值最大值

(17.81 KB)

2012-9-6 02:50

所指的“似曾相识”是这个：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=503423
但本题有“锐角三角形”条件，故有所不同，有空再玩。

今天人教群里又提起这道题，说来是巧，这两天都在搞这种轮换差式的绝对值问题……不过刚才目测了一下，似乎这道的数据并不好算……

竟然出现了次数很高的东西……

首先用正弦定理并且通分，有
\[\left| \sum\frac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B} \right|=\frac{\abs{(a-b)(b-c)(c-a)}}{(a+b)(b+c)(c+a)},\]
若三边中有两边相等则原式为 $0$，下设三边都不相等，由对称性，不妨设 $a<b<c$，则可令 $b=a+t$, $c=a+t+u$, $t$, $u>0$，由锐角三角形条件知
\[a^2+b^2>c^2\iff a^2+(a+t)^2>(a+t+u)^2,\]
解得
\[a>u+\sqrt{2u(t+u)},\]
令 $m=\sqrt{2u(t+u)}$，则
\begin{align*}
\left| \sum\frac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B} \right|&=\frac{tu(t+u)}{(2a+t)(2a+2t+u)(2a+t+u)} \\
& <\frac{tu(t+u)}{(2m+t+2u)(2m+2t+3u)(2m+t+3u)},
\end{align*}
由齐次性，不妨设 $u=1$，则 $m>\sqrt2$ 且 $t=m^2/2-1$，代入上式化简即得
\[\left| \sum\frac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B} \right|<\frac{m^2(m^2-2)}{(m+1)^2(m+2)^2(m^2+4m+2)}=g(m),\]
下面求 $g(m)$ 在 $\bigl(\sqrt2,+\infty\bigr)$ 上的最大值。
由于 $g(m)$ 在 $\bigl(\sqrt2,+\infty\bigr)$ 上连续，恒正，可导，且易见
\[\lim_{m\to\sqrt2}g(m)=\lim_{m\to+\infty}g(m)=0,\]
所以 $g(m)$ 在 $\bigl(\sqrt2,+\infty\bigr)$ 上存在最大值且取得最大值的点必然为导数为 $0$，设
\[\max_{m>\sqrt2}g(m)=g(m_0)=M,\]
即有方程组
\[\left\{\begin{aligned}
g'(m_0)&=0,\\
g(m_0)&=M,
\end{aligned}\right.\]
用结式消去 $m_0$，可以得到 $M$ 是如下方程的一个根
\[M^6-161M^4-18625M^2+1=0,\]
这个方程只有两个正数根，其精确解就不写出来了，只写出其近似值分别为 $0.00732743$ 及 $15.4579$，又显然能看出当 $m>\sqrt2$ 时有 $g(m)<1$，所以后者舍去，最终得到
\[M\approx 0.00732743,\]
这就是 $g(m)$ 在 $\bigl(\sqrt2,+\infty\bigr)$ 上的最大值。

再者，由证明过程知当 $a^2+b^2\to c^2$ 且 $u=1$, $m=m_0$ 时原式能趋向 $M$，因此原式实际上无最大值，$M$ 是它的上确界，若要取得最大值，只要将条件改为“非钝角三角形”。

4# kuing

哎，如果将“锐角三角形”去掉就简单多了，小小一个条件就把问题搞得N复杂，不上软件后面都不敢算哩……