[不等式] 来自群的一道轮换不等式

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2012-9-5 22:37

提问人“哦”了，但不知发哪去了。
其实我并不是一看就知道怎么证的，但看上去应该不会太难，就直接答应电脑上给回复，其实现在回想下也感觉有点险，一开始想SOS结果不成功，幸好后来还是CS+AG证到了。
不过，到证出来的时候，人又走了哎……只能发到这里先。

\begin{align*}
\sum{\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}}\geqslant\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}&\iff\sum{\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}}\geqslant \sum{a^2}-\sum{ab}+\frac{3abc}{a+b+c} \\
& \iff\sum{\left( \frac{a^4}{a^2+ab+b^2}-a^2+ab \right)}\geqslant\frac{3abc}{a+b+c} \\
& \iff\sum{\frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}}\geqslant\frac{3abc}{a+b+c} \\
& \iff\sum{\frac{b^2}{c(a^2+ab+b^2)}}\geqslant\frac3{a+b+c},
\end{align*}
由 CS and AG 得
\[\sum{\frac{b^2}{c(a^2+ab+b^2)}}\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{\sum{c(a^2+ab+b^2)}}=\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\geqslant \frac3{a+b+c}.\]