[组合] 请问一个棋盘的问题

题和解答是在别处看到的，感觉有问题，请帮助看看。
觉得“据此知，第1列的第2至第n个方格内的各数之和不小于n-(n-m)=m”那里有问题，如果设第一行所有数之和为n-m+x，第一列所有数之和为y，那么有n-m+x+y>=n，这样只能得到y>=m-x，还得不到y>=m，下面那个式子就不一定成立了。是我的理解有问题吗？这个题应该怎么解？

沉了顶一下，谢谢大家关注

想到一个整体办法，整个棋盘有$n^2$个数，设这$n^2$个数的和为$S$,那么$2nS\ge{n^2n}$,也即$S\ge{\frac{n^2}{2}}$.
---好象就这么简单啊.不等式左边是把$a_{ij}$对应的行列都相加$（i=1,2,..n;j=1,2,..n）$，总和就是$2nS$,因为每个$a_{ij}$都被重复加了2n次.

3# realnumber
谢谢。但没看懂，右边的$n^2*n$怎么解释呢？

$a_{ij}$有$n^2个$啊,题目就有这句话，每个行列和不小于n

5# realnumber
要是每行每列的和不大于$n$才能用大于等于号吧，题目只说是0时一定不小于$n$，没说不是0的时候元素所在行列的和就一定不大于$n$
可能理解得不对，我有点绕迷糊了
我再想想，比如设这$n^2$个数里有$x$个是0，那么这$x$个数所在行列所有数之和$X$不小于$xn$，另外$y$个数不是0，$x+y=n^2$
这$y$个数所在行列所有数之和设为$Y$，这样能得到$2nS=X+Y$，其中$X \geqslant xn$，能得到$Y+xn \geqslant 2nS$，但$Y$和$x$都不一定，还是没法确定，如果设这$y$个不为0的元素所在行列之和也都不小于$n$，这样能得到$Y \geqslant yn$，就得$2nS=X+Y \geqslant (x+y)n=n^3$，但目前不能确定这$y$个不为0的元素所在行列之和都不小于$n$

恩，看来我错了，果然是幻觉

请教了一位网友，当时他没给出解答，今天又问了一次，说已经解出来一阵了，一直没给我发，呵呵，把答案放上来
设方格中所有数之和为$S$，设每行各数之和为$A_1, A_2, \cdots , A_n$，每列各数之和为$B_1, B_2, \cdots , B_n$
$A_i, B_i$中必有最小的，不妨设$A_1$最小，若$A_1 \geqslant n$，则$S \geqslant nA_1 \geqslant n^2 > \frac{n^2}{2}$
若$A_1 < n$，设第$1$行有$t$个$0$
若$t < n - A_1$，则第$1$行所有数之和最小为$1 \cdot (n-t) + 0 \cdot t = n-t > A_1$，与第$1$行所有数之和为$A_1$矛盾
所以$t \geqslant n - A_1$，不妨设第$1$行含有$0$的方格的列为$B_1, B_2, \cdots , B_t$
由于行列交界处为$0$时行列所有数之和不小于$n$，所以$B_1 + A_1 \geqslant n, B_2 + A_1 \geqslant n, \cdots, B_t + A_1 \geqslant n$
由于$A_1$是所有行列各数之和中最小的，所以$B_{t+1} \geqslant A_1, B_{t+2} \geqslant A_1, \cdots , B_n \geqslant A_1$
所以$S - \frac{n^2}{2} = \sum_{i=1}^{t}B_i + \sum_{i=t+1}^{n}B_i - \frac{n^2}{2} \geqslant (n - A_1)t + (n-t)A_1- \frac{n^2}{2} = \frac{(n-2A_1)(2t-n)}{2}$
由于$t \geqslant n-A_1$，所以$2t-n \geqslant n-2A_1$，所以$S-\frac{n^2}{2} \geqslant \frac{(n-2A_1)^2}{2} \geqslant 0$，即$S \geqslant \frac{n^2}{2}$