请教一个绝对值的问题

请教一个绝对值的问题：
$|ax+by+cz|+|bx+cy+az|+|cx+ay+bz|=|x|+|y|+|z|$，对于任意实数$x，y，z$都成立，求$a，b，c$的值。
我知道答案，$a、b、c$三个中有一个取1或-1，另两个取0就可以，但是为什么呢？

令 $x=y=0$, $z=1$ 得 $\abs a+\abs b+\abs c=1$；
令 $x=y=z=1$ 得 $\abs{a+b+c}=1$，所以 $a$, $b$, $c$ 必定同号（约定 $0$ 与任何实数同号）；
令 $x=0$, $y=1$, $z=-1$ 得 $\abs{b-c}+\abs{c-a}+\abs{a-b}=2$，由全对称性，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则去绝对值后得 $a-c=1$；
由此，我们有
\[1=\abs a+\abs b+\abs c\geqslant \abs b+\abs{a-c}=\abs b+1,\]
所以必有 $b=0$，从而有 $\abs a+\abs c=1$，如果 $a$, $c$ 同为非负，则 $c=0$，故 $a=1$；如果 $a$, $c$ 同为非正，则 $a=0$，故 $c=-1$。

谢谢。 请问为什么从|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1就能推出abc是同号的呢？请再指点指点好吗？

3# abababa

绝对值不等式的取等条件

4# kuing


谢谢，我看懂了。