[不等式] How to A-G it?

设$a,b,c \in R^{+} $ 且$a+b+c=3 $,prove that:
\[ a\sqrt{a+b}+b\sqrt{b+c}+c\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}\]

AG的方法没有...不过用别的方法证明也很快的...

证明:由于欲证不等式轮换对称,故可设$c=mid(a,b,c)$. 首先证明此时有\\
\[b\sqrt{b+c}+c\sqrt{c+a}\geq b\sqrt{a+b}+c\sqrt{2c}\]
两边平方等价于
\[b^2c+c^2a+2bc\sqrt{(b+c)(c+a)}\geq b^2a+c^3+2bc\sqrt{2c(a+b)}\]
\[\Longleftrightarrow (a-c)(c^2-b^2)\geq 2bc\left(\sqrt{2c(a+b)}-\sqrt{(b+c)(c+a)}\right)\]
\[\Longleftrightarrow b+c\geq \frac{2bc}{\sqrt{2c(a+b)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}}\]
而由均值不等式有$b+c\geq 2\sqrt{bc}$,代入上式则只需证明
\[\sqrt{2c(a+b)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}\geq \sqrt{bc}\]
显然成立.由此,结合欲证不等式,只需证明
\[b\sqrt{a+b}+c\sqrt{2c}+a\sqrt{a+b}\geq 3\sqrt{2}\]
也即证明
\[f(c)=(3-c)\sqrt{3-c}+c\sqrt{2c}\geq 3\sqrt{2}\]
而$f'(c)=\frac{3}{2}(\sqrt{2c}-\sqrt{3-c})$,易得到$f'(1)=0$且在$c=1$处取得极小值.于是有
\[f(c)\geq f(1)=3\sqrt{2}\]
于是原不等式得证.当且仅当$a=b=c$时取得等号.

[/b][b] [url=http://kkkkuingggg.5d6d.com/redirect.php?goto=findpost&pid=2070&ptid=80]3#[/url] [i]天涯无际[/i]


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