[不等式] 自编的一个有意思的不等式问题

(8.45 KB)

2012-9-3 21:33

这是本人又上次一个不等式自己编的一道试题，想请教高手指教下，我只是部分的解答了，不能形成严密的系统性解答！谢谢

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:56 分类

kuing

管理员

UID: 1
帖子: 3992

2^#

发表于 2012-9-3 21:49

这大概应该叫“改编”好些，准确些讲应该是推广探究，因为你自己还没搞定……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

管理员

UID: 1
帖子: 3992

3^#

发表于 2012-9-3 22:15

$n=3$ 就是 http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-791-1-1.html；
$n=2$ 时仿 $n=3$ 后面变成的是熟知的 nessbit 更简单；
$n\geqslant4$ 时，前面与 $n=3$ 类似，得到 $\sum\sqrt[n]{1-\sin A\sin B}\geqslant\sum\sqrt[n]{\bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}$，这时就跟 $n=3$ 不一样了，这里利用 $\sqrt[n]{\bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}>1-x$，然后 $\sum\sqrt[n]{1-\sin A\sin B}>\sum(1-x)=2$，当 $A\to0$, $B=C\to90^\circ$ 时 $\sum\sqrt[n]{1-\sin A\sin B}\to2$，所以此时 $2$ 是下确界。