[组合] 集合元素个数最值

集合元素个数最值

solution by 何版主

(30.63 KB)

2012-9-4 12:55

何版主还是打错了一点点，下面的红色字是修改了的地方。

设 $A\cup B\cup C=U$，$\complement_U(B\cup C)=A_1$，$\complement_U(A\cup C)=B_1$，$\complement_U(A\cup B)=C_1$，$\complement_U(A_1\cup B_1\cup C)=D$，$\complement_U(A_1\cup B\cup C_1)=\color{red}E$，$\complement_U(A\cup B_1\cup C_1)=\color{red}F$，$A\cap B\cap C=G$，$\abs{A_1}=a$，$\abs{B_1}=b$，$\abs{C_1}=c$，$\abs D=d$，$\abs E=e$，$\abs F=f$，$\abs G=g$，$d+e+f=x$，则
\[\left\{\begin{aligned}
a+b+x+g&=20,\\
b+c+x+g&=30,\\
c+a+x+g&=40,
\end{aligned}\right.\]
解之得
\[\left\{\begin{aligned}
a&=\frac{30-g-x}2,\\
b&=\frac{10-g-x}2,\\
c&=\frac{50-g-x}2,
\end{aligned}\right.\]
由 $a\geqslant 0$，$b\geqslant 0$，$c\geqslant 0$ 得 $g\leqslant 10$，因此 $g$ 最大为 $10$，此时有 $a=10$，$b=0$，$c=20$，$x=0$（即 $d=e=f=0$）。


顺便加个示意图。

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2012-9-4 15:11