[不等式] 请教一道漂亮优美的三角不等式问题

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2012-9-2 14:43

请教这道优美的三角不等式如何证明？谢谢

这么巧，我在某个群里也看到有人问这道题：

不会就是你吧？
不过群里发的截图的排版看上去也是用 mathjax，跟楼主你的不太一样。

恩 ，对，就是本人。群里没有人回复，就发在这个论坛里来了。请指教！
还有，那个粉丝群我加了几次怎么都加不进去呢？我是华中师范大学一名在校学子，对于不等式问题很感兴趣，希望今后多多指教！谢谢

原来也不难，只是看上去稍吓人。

由万能公式及柯西不等式，有
\[\sin A\sin B=\frac{4\tan\frac A2\tan\frac B2}{\bigl(1+\tan^2\frac A2\bigr)\bigl(1+\tan^2\frac B2\bigr)}
\leqslant \frac{4\tan\frac A2\tan\frac B2}{\bigl(1+\tan\frac A2\tan\frac B2\bigr)^2},\]
所以
\[\sqrt[3]{1-\sin A\sin B}\geqslant \sqrt[3]{1-\frac{4\tan\frac A2\tan\frac B2}{\bigl(1+\tan\frac A2\tan\frac B2\bigr)^2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{1-\tan\frac A2\tan\frac B2}{1+\tan\frac A2\tan\frac B2}\right)^2},\]
记 $\tan\frac A2\tan\frac B2=z$, $\tan\frac B2\tan\frac C2=x$, $\tan\frac C2\tan\frac A2=y$，则 $x$, $y$, $z>0$, $x+y+z=1$，且有
\[\sum\sqrt[3]{1-\sin A\sin B}\geqslant\sum\sqrt[3]{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}=\sum\sqrt[3]{\left(\frac{y+z}{2x+y+z}\right)^2},\]
于是只要证
\[\sum\sqrt[3]{\left(\frac{y+z}{2x+y+z}\right)^2}\geqslant \frac32\sqrt[3]2,\]
再令 $t=y+z$, $u=z+x$, $v=x+y$，则上式化为已知的不等式
\[\sum\sqrt[3]{\left(\frac t{u+v}\right)^2}\geqslant \frac32\sqrt[3]2,\]
所以原不等式成立。

注：最后所指的已知的不等式的证明见数学空间第一期《由三元循环不等式讲起》的最后一个 Ineq。

恩 ，对，就是本人。群里没有人回复，就发在这个论坛里来了。请指教！
还有，那个粉丝群我加了几次怎么都加不进去呢？我是华中师范大学一名在校学子，对于不等式问题很感兴趣，希望今后多多指教！谢谢
ccnu_chb_ycb 发表于 2012-9-2 15:04

oh，原来还真是同一人。
不过既然你截图里用的是 mathjax，为什么不直接把代码复制上来，这样就可以直接在这里显示公式了，省去重新输入和传图片。
至于粉丝群，主要是快满人了，所以守得紧一些，而且如果只是讨论数学题的话可以在这里发贴就好了。

美丽的不等式美丽的证明，佩服！如果还有其他证法也忘指教

6# kuing


恩，很感谢你的指教，以后还得多多请教。相信你以后会同以我加进去的。我会努力取得您的认可哟

那就加吧
其实我是想数学题尽量在论坛讨论，群里闲谈吹水为主

7# ccnu_chb_ycb

其他方法恐怕难找，前面不是那样放缩处理的话估计很难搞下去。
所以顶多变一下后面的证明，比如对 $\sum\sqrt[3]{\bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}$ 用切线法也可以。