[不等式] 06罗马尼亚竞赛题的3种漂亮AG证法

题目：$a,b,c>0,a+b+c=3,证明：\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant a^2+b^2+c^2$
此题记得小K曾经在数学空间里作为切线法的范例，在这里我就不再给出这种作答。以下是这个题目的另外三种AG做法
证法1：因为a,b,c>0.所以：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}
=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{9}{abc(a+b+c)}\geqslant\frac{27}{(ab+ac+bc)^2}$所以要我们只要证明：$\frac{27}{(ab+ac+bc)^2}\geqslant
a^2+b^2+c^2,也就是（a^2+b^2+c^2）（ab+ac+bc)^2\leqslant27$,由三元的AG即可得到。

证法2：题目即证: $\frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}+ 2(ab+ac+bc) \geqslant 9$因为：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+ac+bc)\geqslant \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+2\sqrt{3abc(a+b+c)}=3(\frac{1}{abc}+\sqrt{abc}+\sqrt{abc})
\geqslant9$


证法3：题目即证：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+ac+bc)\geqslant9$由于：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+ac+bc)\geqslant\frac{1}{3}.（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+2(ab+ac+bc)=\frac{1}{3}.\frac{(ab+ac+bc)^2}{abc}
+(ab+ac+bc)+(ab+ac+bc)再利用下三元AG即可证明$

还是我帮你打打好了

以下引用楼主的内容并加以编辑。

题目：$a$, $b$, $c>0$, $a+b+c=3$，证明：\[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant a^2+b^2+c^2.\]
此题记得小K曾经在数学空间里作为切线法的范例，在这里我就不再给出这种作答。以下是这个题目的另外三种AG做法

证法1：因为 $a$, $b$, $c>0$，所以\[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}
=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{9}{abc(a+b+c)}\geqslant\frac{27}{(ab+ac+bc)^2},\]所以要我们只要证明\[\frac{27}{(ab+ac+bc)^2}\geqslant
a^2+b^2+c^2,\]也就是\[(a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)^2\leqslant27,\]由三元的AG即可得到。

证法2：题目即证\[\frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}+ 2(ab+ac+bc) \geqslant 9,\]因为
\begin{align*}
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+ac+bc) &\geqslant \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+2\sqrt{3abc(a+b+c)}\\
&=3\left(\frac{1}{abc}+\sqrt{abc}+\sqrt{abc}\right)\geqslant9.
\end{align*}

证法3：题目即证\[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+ac+bc)\geqslant9,\]由于
\begin{align*}
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+ac+bc) &\geqslant\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+2(ab+ac+bc)\\
&=\frac{1}{3}\cdot\frac{(ab+ac+bc)^2}{abc}+(ab+ac+bc)+(ab+ac+bc),
\end{align*}
再利用下三元AG即可证明。

下面再补充一种做法，这种做法是由萝卜（网名路箩筐）给出的，因为：$a,b,c>0,所以\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}
\geqslant\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$所以我们只要证明：$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant
a^2+b^2+c^2$即可。也就是:$abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant3$由于$(ab+ac+bc)^2\geqslant3abc(a+b+c)=9abc$,所以我们只要证明：
$(ab+ac+bc)^2(a^2+b^2+c^2)\leqslant27$而这个很容易由三元的AG得到，证毕。


另外PS一下：在ji chen 的代数不等式的第六章中，ji chen 刊载了AOPS上arqady的一个均值证法，但是这个均值证法实在是太暴力，用的是68元的均值不等式。



最后谢谢小K帮我重新编辑了下