[数列] 网友这次问数列

月中影 08-26 22:52:18
数列yn定义如下：y（1）=1,对k>0，y（2k）={2y（k）,k为偶数；2y（k ）+1,k为奇数}，y（2k +1）={2y（k ），k为奇数；2y（k ）+1,k为偶数}，证明：数列能取遍每个正整数并且恰好一次

打成 $\LaTeX$ 先：
数列 $\{y_n\}$ 定义如下：$y_1=1$，对 $k>0$，$y_{2k}=\begin{cases} 2y_k, & k~\text{为偶数，} \\ 2y_k+1, & k~\text{为奇数，}\end{cases}$$y_{2k+1}=\begin{cases} 2y_k, & k~\text{为奇数，} \\ 2y_k+1, & k~\text{为偶数。}\end{cases}$证明：数列能取遍每个正整数并且恰好一次。

话说这个题目我好像在哪里见过，想不起来，也不知怎么做

大家帮瞧瞧。

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:59 分类

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
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2^#

发表于 2012-8-27 09:06

没仔细想，有没有可能证明，当 $i\le 2^n-1$ 时，$y_i\le 2^n-1$，且此数列中没有重复项？

yizhong

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3^#

发表于 2012-9-16 11:05

现在爪机ing，改天我再把过程码下....….

yizhong

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4^#

发表于 2012-9-19 14:42

用进位制可以很容易的解决此问题 ~~~~

yes94

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5^#

发表于 2013-1-26 16:16

用进位制可以很容易的解决此问题 ~~~~
yizhong 发表于 2012-9-19 14:42

一中闪了一下，就不见了，

realnumber

论坛元老

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6^#

发表于 2013-1-26 21:18

1.先证明每个整数$n$,都是数列中的项.以下用反证法证明.
解关于$x$的方程,并设整数$n$是使得$y_x=n$无解的最小的$n$----(1).
若$n=1$,则$x=1$,不合$n$的要求.若$n$为大于1的奇数,考虑关于$t$的方程\[\frac{n-1}{2}=y_t\]
这个方程必定有解,假定解是偶数t,则$y_{2t+1}=n$,假定解是奇数t,则$y_{2t}=n$,都与(1)矛盾.
同样若$n$为大于1的偶数,类似处理.
如此每个整数$n$,总会出现在数列中.
2.证明每个整数$n$都出现一次.同上
解关于$x$的方程,并设整数$n$是使得$y_x=n$多解的最小的$n$----(1).
类似处理.