[不等式] 网友又问不等式，三角形绝对值

月中影  22:36:32
三角形ABC的三条边长为a,b,c,证明：  
|a^2-b^2|/c+|b^2-c^2|/a>=|c^2-a^2|/b

打成 $\LaTeX$ 代码先：
$\triangle ABC$ 的三条边长为 $a$, $b$, $c$，证明
\[\frac{|a^2-b^2|}c+\frac{|b^2-c^2|}a\geqslant\frac{|c^2-a^2|}b.\]

话说这个题我除了分类讨论之外没什么想法（分三类，分别去绝对值之后因式分解，没什么技术），不知你们有没有一次过能搞定的简洁办法？

分类的具体做法如下。

由于交换 $a$, $c$ 二者的位置，不等式不变，所以不妨设 $a\geqslant c$，然后按 $b$ 与 $a$, $c$ 的大小比较分成三类，分别去绝对值后作因式分解，得到下表。
\begin{array}{|c|c|}
\hline
情况 & 原不等式等价于 \\
\hline
a\geqslant b\geqslant c & \begin{aligned}
& \iff\frac{a^2-b^2}c+\frac{b^2-c^2}a\geqslant \frac{a^2-c^2}b \\
& \iff\frac{(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)}{abc}\geqslant 0
\end{aligned} \\
\hline
b\geqslant a\geqslant c & \begin{aligned}
& \iff\frac{b^2-a^2}c+\frac{b^2-c^2}a\geqslant \frac{a^2-c^2}b \\
& \iff\frac{(b-a)(a+c)(b+c)(a+b-c)}{abc}\geqslant 0
\end{aligned} \\
\hline
a\geqslant c\geqslant b & \begin{aligned}
& \iff\frac{a^2-b^2}c+\frac{c^2-b^2}a\geqslant \frac{a^2-c^2}b \\
& \iff\frac{(c-b)(b+a)(c+a)(b+c-a)}{abc}\geqslant 0
\end{aligned} \\
\hline
\end{array}
所以原不等式成立。

其实我觉得后两种情况不需要分开讨论，但不知怎样说明其等价，所以还是分了算了。