[不等式] 一道不等式

证明：$\ln x\ln(1-x)<\sqrt{x(1-x)}$ 学会了发题

1# v6mm131


你甚至可以将公式放在贴的标题上，这样从外面就可以看到这个不等式。

理论上可能大概应该估计差不多基本上会有下面这个吧
\[\ln x\ln(1-x)\leqslant\bigl(x(1-x)\bigr)^{-\frac{\ln(\ln2)}{\ln2}}\]

其中，指数
\[-\frac{\ln(\ln2)}{\ln2}\approx0.528766\]

刚才的聊天记录

(67.2 KB)

2012-8-26 02:52

突然想到了，咳，洗完澡精神了果然灵感也好点。

只要证当 $0<x<1$ 时恒有
\[\ln x>\frac{x-1}{\sqrt x},\]
这用导数证明是极易的，此处从略。再在上式令 $x\to1-x$ 得
\[\ln(1-x)>\frac{-x}{\sqrt{1-x}},\]
由于它们都是负的，所以两式相乘即得到原不等式。

这也让我明白了为什么上面聊天记录中提到原题没给铺垫而显得突兀，显然是因为如果给了铺垫，提示了上面的局部不等式（哪怕是变形后的），那样题目就太简单了，对不住这样一个如此好看的不等式了，呵呵……

好了，原题解决了，顺便回过头来看看我3#随手搞的指数加强。

理论上可能大概应该估计差不多基本上会有下面这个吧
\[\ln x\ln(1-x)\leqslant\bigl(x(1-x)\bigr)^{-\frac{\ln(\ln2)}{\ln2}}\]
kuing 发表于 2012-8-25 22:19

可以说，这个加强如果成立，那么该指数是最佳的了，那是因为上述不等式能在 $x=0.5$ 时取等。
为方便书写，我们记那个指数 $-\frac{\ln(\ln2)}{\ln2}=\alpha$，并且以下的 $x$ 默认为 $(0,1)$ 内的变量。

既然有了上面这样的局部不等式思路，即管模仿下，但是指数复杂了，照搬一次和根号大概不行，那我们在局部不等式中应配以什么指数？就待定好了，仿上我们需要适当的 $p$, $q$ 使
\[\ln x\geqslant\frac{-(1-x)^p}{x^q}\]
恒成立，然后令 $x\to1-x$ 并相乘后为
\[\ln x\ln(1-x)\leqslant\bigl(x(1-x)\bigr)^{p-q},\]
故应有 $p-q=\alpha$，亦即需要适当的 $q$ 使
\[f(x)=\ln x+\frac{(1-x)^{q+\alpha}}{x^q}\geqslant0\]
恒成立，注意到 $f(0.5)=0$（由于指数最佳，此等式是必然的），那么我们自然也需要 $f'(0.5)=0$，否则就不会恒成立了，经过具体计算，由 $f'(0.5)=0$ 可以得到
\[q=\frac1{2\ln2}-\frac\alpha2,\]
于是，我们需要的局部不等式是
\[\ln x\geqslant\frac{-(1-x)^{\frac1{2\ln2}+\frac\alpha2}}{x^{\frac1{2\ln2}-\frac\alpha2}},\]
即
\begin{equation}\label{20120826v6lnbdszjxsjb}
\ln x\geqslant\frac{-(1-x)^{\frac{1-\ln(\ln2)}{2\ln2}}}{x^{\frac{1+\ln(\ln2)}{2\ln2}}},
\end{equation}
如果式 \eqref{20120826v6lnbdszjxsjb} 成立，那么上述加强式就获证，如果不成立，那么就白干！

时间关系，很晚了，我还是有点撑不住了，明天待续。