[不等式] 来自群的简单半对称三角不等式

爱好者-rpgzysb(6492*****)
三角形中
\[(\sin B+\sin C)(\sin A+\sin C)\ge (\sin 2B+\sin A)(\sin 2A+\sin B).\]
等腰取等。

\begin{align*}
&\iff (\sin B+\sin (A+B))(\sin A+\sin (A+B))\geqslant (\sin 2B+\sin A)(\sin 2A+\sin B) \\
&\iff 4\cos \frac A2\sin \frac{A+2B}2\cos \frac B2\sin \frac{2A+B}2\geqslant 4\cos \frac{A-2B}2\sin \frac{A+2B}2\cos \frac{2A-B}2\sin \frac{2A+B}2 \\
&\iff 2\cos \frac A2\cos \frac B2\geqslant 2\cos \frac{A-2B}2\cos \frac{2A-B}2 \\
&\iff \cos \frac{A+B}2+\cos \frac{A-B}2\geqslant \cos \frac{3A-3B}2+\cos \frac{A+B}2 \\
&\iff \cos \frac{A-B}2\geqslant 4\cos^3\frac{A-B}2-3\cos \frac{A-B}2 \\
&\iff 4\cos \frac{A-B}2\sin^2\frac{A-B}2\geqslant 0.
\end{align*}

最后其实也可以不用三倍角公式，继续又和差化简也是可以做的。
\begin{align*}
\cdots & \iff \cos \frac{A-B}2-\cos \frac{3A-3B}2\geqslant 0 \\
& \iff-2\sin (A-B)\sin \frac{-A+B}2\geqslant 0 \\
& \iff4\sin^2\frac{A-B}2\cos \frac{A-B}2\geqslant 0.
\end{align*}
oh，这个题作为和差化积与积化和差的习题真是个好选择……