[不等式] 来自群的一道简单最值
爱好者-风度(5120*****) 11:45:17
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2012-8-24 14:05
设实数 $x$, $y\geqslant1/2$，求 $f(x,y)=x^3+y^3+x^2y+xy^2-3(x^2+y^2+xy)+3(x+y)$ 的最小值。
令 $p=x+y$, $q=xy$，则由均值有 $p^2\geqslant4q$，由条件有 $p\geqslant1$, $q\geqslant1/4$，以及 $(2x-1)(2y-1)\geqslant0$ 展开得到 $4q+1\geqslant2p$。
将 $f(x,y)$ 整理为
\[f(x,y)=g(p,q)=p^3-3p^2+3p+(3-2p)q,\]
如果 $p\geqslant3/2$，则
\[g(p,q)\geqslant p^3-3p^2+3p+(3-2p)\frac{p^2}4=\frac14(p-2)^2(2p-1)+1\geqslant1,\]
当 $x=y=1$ 时取等号；
如果 $p<3/2$，则
\[g(p,q)\geqslant p^3-3p^2+3p+(3-2p)\frac{2p-1}4=\frac18(3-2p)\bigl(2(p-1)(3-2p)+1\bigr)+\frac98>\frac98>1.\]
缩上知 $f(x,y)$ 的最小值为 $1$。
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本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:27 分类
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