悠闲数学娱乐论坛 » 初等数学讨论 » 某群的一周期函数小问

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1^#

发表于 2012-8-23 00:31

[函数] 某群的一周期函数小问

如何证明 $\sin(x^2+x)$ 不是周期函数？

本主题由 kuing 于 2013-1-19 18:18 分类

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
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2^#

发表于 2012-8-23 01:16

哎，这些显然的东西总是不好证明，不知下面这样说行不行？

假设 $f(x)=\sin(x^2+x)$ 为周期函数，设其周期为 $T>0$。
我们来计算 $f(x)$ 的零点，为
\[x^2+x=k\pi\iff x=\frac{\pm\sqrt{4k\pi+1}-1}2,\]
其中 $k\in\mathbb Z$。且考虑 $x\geqslant 0$ 的由小到大排列的所有零点 $x_k=\bigl(\sqrt{4k\pi+1}-1\bigr)/2$（$k\in\mathbb N$），考察相邻两零点间的距离，为
\[x_{k+1}-x_k=\frac{\sqrt{4(k+1)\pi+1}-1}2-\frac{\sqrt{4k\pi+1}-1}2=\frac{2\pi}{\sqrt{4(k+1)\pi+1}+\sqrt{4k\pi+1}},\]
可见此距离随 $k$ 的增大而严格减少，因此，必存在正整数 $m$，使 $f(x)$ 在区间 $[0,T]$ 上的零点个数比区间 $[mT,(m+1)T]$ 上的要少，这与 $f(x)$ 以 $T$ 为周期矛盾。

感觉还是缺一点数学语言的刻画。

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3^#

发表于 2012-8-23 14:12

该群里有人回复如下

QQ截图20120823140842.png

(52.99 KB)

2012-8-23 14:12

其实我看不懂。

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4^#

发表于 2012-8-23 19:07

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2012-8-23 19:07

经常回帖，混个脸熟

管理员

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5^#

发表于 2012-8-23 19:14

4# nash

还是看不懂

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6^#

发表于 2012-8-23 19:35

“$\sin f(x) = \sin g(x)$ 恒成立” 得到 “$f(x)=g(x)+2k\pi$ 恒成立” 或 “$f(x)=\pi-g(x)+2k\pi$ 恒成立” ？

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7^#

发表于 2012-8-23 20:11

6# kuing

嗯，是呀。

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8^#

发表于 2012-8-23 20:16

此类问题的做法大都是反证法（或说通法），还常常用到无理数=有理数的矛盾

管理员

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9^#

发表于 2012-8-23 20:34

7# nash

确信能得到？

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10^#

发表于 2012-8-23 20:36

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11^#

发表于 2012-8-23 20:46

10# 海盗船长

指点一下啊，就一个表情我无法理解啊……

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12^#

发表于 2012-8-23 21:34

11# kuing

感觉不是很严谨啊，，应该是两个都有可能恒成立，不能直接这样分成两种情形

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13^#

发表于 2012-8-23 21:36

嗯直接取x为有理数好像也可以出矛盾

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14^#

发表于 2012-8-23 21:47

转群里40的：

地狱的死灵  21:32:18
  那题证明不是周期函数可不可以直接证明它的导函数不是周期函数？
  直接在导函数中找个点列，
  使得导函数在这个点列上是递增的
爱好者-悠闲数学娱乐论坛?  21:34:55
  应该可以的导数的想法不错，咋我没想到……
地狱的死灵  21:36:37

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15^#

发表于 2012-8-23 21:52

哦，导数方法不错

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16^#

发表于 2012-8-27 21:13

一种想法是连续的周期函数是一致连续的，所以只要证明这个函数非一致连续即可。

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17^#

发表于 2012-8-27 21:19

16# icesheep

连续的周期函数是一致连续的

这个结论怎么证哟？

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18^#

发表于 2012-8-27 21:25

噢，好像在闭区间连续就……
我对一致连续不太熟悉的说……

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19^#

发表于 2012-8-27 21:28

有界闭区间上的连续函数是一致连续的（有限覆盖原理）

于是该连续函数在两个周期内的闭区间中一定是一致连续的，显然由周期性这个公共的 delta 可以推广到整个 R 上。