[函数] 函数迭代

如附件。

set $\displaystyle f_0(x)=(1+x)^m=\sum_{i=0}^m C_m^i x^i$ then $f_{n+1}(x)=f_n(x)+x f'_n(x)=(x f_n(x))'$
$$\Longrightarrow f_{1}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x f_0(x))=\sum_{i=0}^m (i+1)C_m^i x^i$$
$$\Longrightarrow f_{n}(1)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x f_n(x))_{x=1}=\sum_{i=0}^m (i+1)^nC_m^i$$

2# 海盗船长

最后的结果有没有化简的可能？

3# kuing


感觉不行，一般化简最后那个式子都是反过来用母函数或者已知的组合恒等式递推出来的，好像没有通式。

可能是我没问清楚，二楼把问题还原了。本想得到一个多项式的结果，若能得到，就能解决等差等比数列与组合数的恒等式问题。具体猜想见附件，求证明或否定。

还原……