[不等式] Maybe easy one

Let $a,b,c>0$ with $a+b+c=3 $ prove that:
\[ {\frac{{a}^{2}}{b}}+{\frac{{b}^{2}}{c}}+{\frac{{c}^{2}}{a}}+4(ab+bc+ca)\ge 15 \]

一看这个这个题目如果引用一条引理的话（can引理），那么是极其容易，这条引理如下：a,b,c>0
$\sum \dfrac{a^2}{b}\geqslant\dfrac{15(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)}-\dfrac{3(a+b+c)}{2}$
引用这条引理后，待证明的不等式就相当于只需要证明：$5(a^2+b^2+c^2)+8(ab+ac+bc)\geqslant39$
也就是：$5(a+b+c)^2-10(ab+ac+bc)+8(ab+ac+bc)\geqslant39$ 即：$3\geqslant（ab+ac+bc）$
而这个是容易得到的，证毕。


另外我们还可以建立这么一条引理：a,b,c>0,$\sum \dfrac{a^2}{b}+（a+b+c)\geqslant\dfrac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)}$
这条引理可以用SOS证明，引用这条引理我们可以得到待证明的不等式相当于证明：$6(a^2+b^2+c^2)+12(ab+ac+bc)\geqslant54$
而：$6(a+b+c)^2=54$  所以原不等式得证。

今天就先到这里，改天再上来

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