Infinite Product

$\begin{align*} \prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^3}\right) & =\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{n^3}\\& =\lim_{m\to \infty}\frac{1}{m}\prod_{n=2}^m\frac{(n-\omega)(n-\omega^2)}{n^2}\\& =\lim_{m\to \infty}\frac{\Gamma(m+1-\omega)\Gamma(m+1-\omega^2)}{m(m!)^2\Gamma(-\omega)\Gamma(-\omega^2)(1-\omega)(1-\omega^2)(-\omega)(-\omega^2)}\\& =\frac{1}{3\Gamma(-\omega)\Gamma(-\omega^2)}=\frac{\sin{\pi(-\omega)}}{3\pi}\\& =\frac{\cosh (\frac{ \sqrt{3}\pi}{2} )}{3\pi }\end{align*}$

where $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

we have used the fact that $$\Gamma(m+1-a)=(m-a)(m-a-1)\cdots(1-a)(-a)\Gamma(-a)$$
$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}$$
and $$\lim_{x\to \infty}\frac{x^a\Gamma(x-a)}{\Gamma(x)}=1$$

http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=67&t=494649

$$\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}$$

$$\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n(n-1)}\right)=-\frac{\cos\left( \frac{\sqrt{5}\pi }{2} \right)}{\pi }$$

$\begin{align*} \prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^4}\right) & =\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)(n^2+1)}{n^4}\\& =\lim_{m\to \infty} \frac{m+1}{2m}\prod_{n=2}^m \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\\& =\frac{1}{2}\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n+i)(n-i)}{n^2}\\& =\frac{1}{2} \lim_{n\to \infty}\frac{\Gamma(n+1+i)\Gamma(n+1-i)}{n^2 \Gamma(-i)\Gamma(1+i)(1-i)(1+i)(-i)}\\& = \frac{i\sin(-\pi i)}{4\pi} =\frac{\sinh(\pi)}{4\pi}\end{align*}$

“$\backslash$begin{align*}”和“$\backslash$end{align*}”的两边不需要再加上“\(\$\)”符号。

4# 叶剑飞Victor

可能他不想要行间  或者一开始打了后来忘记删?  呵呵…

PS，如果没记错, 直接反斜杠后跟美元符号就能显示 \$ 。 现在爪机回复ing无法立即看到效果, 睡醒再看。

5# kuing


奇怪，，我那天刚写完1楼的时候还可以显示的，现在好像不能显示了

6# 海盗船长

现在可以了，是 TAG 惹的祸，我关闭了 TAG 功能。