[不等式] 转 Ji Chen 的一道题

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设非负数 $a$, $b$, $c$, $d$ 满足 $a+b+c+d=2$，则
\[\frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2}+\frac{d^2}{(1+d^2)^2}\leqslant\frac{16}{25},\]
等号成立当且仅当 $a=b=c=d=\frac12$。

下面还是运用我在网刊写过的“分类使用切线法”了，这次我在另一个分类时我将再次切线和支撑线。
啊！这个例子要是早点知道，写该文的时候就可以作为一个很好的例题了。

废话少说，开切吧。

由对称性，不妨设 $0\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant d$，下面分两种情况。

（1）当 $a\geqslant 1/8$ 时。
我们先证明当 $x\geqslant 1/8$ 时有
\begin{equation}\label{jichenbds20120818qx1}
\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\leqslant \frac4{125}(12x-1),
\end{equation}
上式左右作差分解有
\[\frac4{125}(12x-1)-\frac{x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{(2x-1)^2\bigl(12x^3+11x^2+4(8x-1)\bigr)}{125(1+x^2)^2}\geqslant 0,\]
故式 \eqref{jichenbds20120818qx1} 成立，于是有
\[\frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2}+\frac{d^2}{(1+d^2)^2}\leqslant \frac4{125}\bigl(12(a+b+c+d)-4\bigr)=\frac{16}{25},\]
所以此时原不等式成立；

（2）当 $0\leqslant a<1/8$ 时。
我们先证明当 $x\geqslant 0$ 时有
\begin{equation}\label{jichenbds20120818qx2}
\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\leqslant \frac{108(5x+1)}{2197},
\end{equation}
上式左右作差分解有
\[\frac{108(5x+1)}{2197}-\frac{x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{(3x-2)^2(60x^3+92x^2+216x+27)}{2197(1+x^2)^2}\geqslant 0,\]
故式 \eqref{jichenbds20120818qx2} 成立。
再证明当 $0\leqslant x<1/8$ 时有
\begin{equation}\label{jichenbds20120818qx3}
\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\leqslant \frac{512x}{4225},
\end{equation}
上式左右作差分解有
\[\frac{512x}{4225}-\frac{x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{x(1-8x)(512-129x-8x^2-64x^3)}{4225(1+x^2)^2},\]
由 $0\leqslant x<1/8$ 显然有 $1-8x>0$ 及 $512-129x-8x^2-64x^3>0$，故式 \eqref{jichenbds20120818qx3} 成立。
于是，由式 \eqref{jichenbds20120818qx2} 和式 \eqref{jichenbds20120818qx3}，我们有
\begin{align*}
\frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2}+\frac{d^2}{(1+d^2)^2}&\leqslant \frac{512a}{4225}+\frac{108\bigl(5(b+c+d)+3\bigr)}{2197} \\
& =\frac{512a}{4225}+\frac{108\bigl(5(2-a)+3\bigr)}{2197} \\
& =\frac{108}{169}-\frac{6844a}{54925} \\
& \leqslant \frac{108}{169},
\end{align*}
而在数值上，也有
\[\frac{16}{25}-\frac{108}{169}=\frac4{4225}>0,\]
所以此时
\[\frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2}+\frac{d^2}{(1+d^2)^2}<\frac{16}{25},\]
原不等式也成立。

综合（1）（2），原不等式获证。

小k又发威了，我的切和你的差不多