[不等式] nguoivn's inequality.

Let $a,b,c>0$ prove that:
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2a+b}+\frac{3}{2b+c}+\frac{3}{2c+a}\geq 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a(a+2b)}}+\frac{1}{\sqrt{b(b+2c)}}+\frac{1}{\sqrt{c(c+2a)}}\right) \]


（表示真心不会做。。。)

oh,均值基本可秒，$2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{3}{a+2b}}=2\sqrt{\dfrac{3}{2a+b}.\dfrac{2a+b}{a(a+2b)}}
\leqslant\dfrac{3}{2a+b}+\dfrac{2a+b}{a(a+2b)}$同理我们可以得到：$2\sqrt{\dfrac{1}{b}.\dfrac{3}{b+2c}}\leqslant
\dfrac{3}{2b+c}+\dfrac{2b+c}{b(b+2c)}$  $2\sqrt{\dfrac{1}{c}.\dfrac{3}{c+2a}}\leqslant\dfrac{3}{2c+a}+\dfrac{2c+a}{c(c+2a)}$
所以我们只要能证明：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}\geqslant\dfrac{2a+b}{a(a+2b)}+\dfrac{2b+c}{b(b+2c)}+\dfrac{2c+a}{c(c+2a)}（1）$我们又有：$\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+2b)}\geqslant0，也即：\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant\dfrac{3(2a+b)}{a(a+2b)}$
同理我们可以得到其余的两个式子，最后叠加即可证得(1).

2# yizhong

好证法！

PS1、“均值基本可秒”，但想到这个均值所用的时间……可能要时，或天，甚至 $+\infty$ 呢
PS2、咋不试试用行间公式呢
PS3、试试用 equation 环境来自动编号和引用，这样不用手工打那些（1）什么的。

确实，我刚刚开始的证法比较拙略 ，后来想用纯A-G,或者CS，一开始试用
均值的时候是约掉:$\sum \dfrac{1}{a}$这一串，但是很快很发现导不出，所以接下去我就想看能
不能约掉：$\sum \dfrac{3}{2a+b}$（因为这个不等式的左边6项，所以我就想想看能不能再化简下）

4# yizhong


Nice!