由人教的一个向量及三角形的贴想到的

刚才看了下这个贴 http://bbs.pep.com.cn/thread-2579156-1-1.html，首先可以肯定该贴里 5、6# 说的是正确的。
而这里想说的则是如果按 PA*PB+PA*PC+PB*PC=0 的话，这个 P 会是什么点？
稍想了下，不难想到其实 P 是不确定的，再细想，发现 P 的轨迹反而有趣。

\begin{align*}
\sum\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0&\iff\sum(\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA})\cdot(\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB})=0 \\
&\iff 3PG^2+2\overrightarrow{PG}\sum\overrightarrow{GA}+\sum\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=0 \\
&\iff PG^2=-\frac13\sum\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB},
\end{align*}
其中 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，可以证明 $\sum\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}<0$，所以右边是正常数，所以 $P$ 的轨迹是个圆且圆心为 $G$。

强人，不过怎么证明：$\sum\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}<0$
看起来好象是的，但我还不会证呢，见笑了！

2# hongxian

呵呵，我懒了没写，其实也很简单几步
\[\sum\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=\frac12\left(\left( \sum\overrightarrow{GA} \right)^2-\sum GA^2 \right)=-\frac12\sum GA^2=-\frac16(a^2+b^2+c^2)\]
就好了

有意思的结论。赞一个

3# kuing


看明白了，谢谢了！

其实也不限于平面，所以还可以说是球面，半径 $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{18}}$……

用坐标法也很容易得到这些结论。