[不等式] 网友又问不等式，这次终于分了（秒不成，分也好）

月中影 08-15 21:41:56
x,y,z>=0,∑xy=1,求证：∑x(1-y^2)(1-z^2)<=(4*3^(1/2))/9  

用 $\LaTeX$ 打一下，就是
$x$, $y$, $z\geqslant0$, $\sum xy=1$，求证
\[\sum x(1-y^2)(1-z^2)\leqslant \frac{4\sqrt3}9.\]

证明
\begin{align*}
\sum x(1-y^2)(1-z^2) &= \sum(x-xy^2-xz^2+xy^2z^2) \\
&= \sum\bigl(x(xy+yz+zx)-xy^2-xz^2\bigr)+xyz\sum xy \\
&= \sum \bigl(xy(x-y)-zx(z-x)+xyz\bigr)+xyz \\
&= \sum xy(x-y) - \sum zx(z-x) + \sum xyz+xyz \\
&= 4xyz,
\end{align*}
下略

1# kuing


看看怎么分

2# 海盗船长

其实没什么技术，只是骗一点回复

oh,好老的题目了，是1994香港IMO代表队的选拔考试题目

4# yizhong

你这个出处dang

对于这个题目我给出两个证法：证法（1），其实这个和小K的差不多，我们可以将待证明的不等式改写成为：
$x+y+z+xyz(xy+xz+yz)\leqslant\dfrac{4\sqrt{3}}{9}+xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)（1）$再利用已知条件
我们又可以将（1）写成：$x+y+z+4xyz\leqslant\dfrac{4\sqrt{3}}{9}+x+y+z$以下从略。

证法（2）：齐次化，我们可以将待证明的不等式改写成为：$x(T_2-y^2)(T_2-z^2)+y(T_2-z^2)(T_2-x^2)+z(T_2-x^2)(T_2-y^2)
\leqslant\dfrac{4\sqrt{3}}{9}T_2^\dfrac{5}{2}(1)$其中我们这里设：$T_1=x+y+z,  T_2=xy+xz+yz   T_3=xyz$
接下来我们将（1）展开化简我们得到要证明（1）相当于证明：$4T_2T_3\leqslant\dfrac{4\sqrt{3}}{9}T_2^\dfrac{5}{2}$
以下从略。

注记：由$xy+xz+yz=1$我们还可以联想到切代换，由于过程比较复杂些，在这里就不再给出。

让我看一下.