[不等式] Pham kim hung's old result

For $a,b,c,d>0$ with $ (a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})=20 $,prove that
\[ (a^2+b^2+c^2+d^2)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\right)\geq 36 \]

等一中……

What if
\[ \left[\sum{(b+c+d-a)^2}\right]\left(\sum{\frac{1}{a^2}}\right)\geq \left(\sum{\frac{b+c+d-a}{a}}\right)^{2} \]
???

根据已知条件和代征式子展开式我们可以定义如下式子：$F(x,y,z)=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x},其中这里x,y,z为正数$
根据这个定义，我们可以容易得到：$F(x,y,z)^2=F(x^2,y^2,z^2)+2F(z,y,x),F(z,y,x)^2=F(z^2,y^2,x^2)+2F(x,y,z)(A)$，所以根据定义式
我们可以将已知条件以及待证明的式子改写成为：$\sum （F(a,b,c)+F(c,b,a)）=32（b）,\sum （F(a^2,b^2,c^2)+F(c^2,b^2,a^2)）\geqslant64(B)$
利用(A)的结论，我们可以得到要证明(B)，相当于证明：$\sum （F(a,b,c)^2+F(c,b,a)^2）\geqslant128$接下去结合条件(b)只需要利用下c-s即可解决。
写得明白些就是：$\sum (F(a,b,c)^2+F(c,b,a)^2)\geqslant\dfrac{1}{8}(\sum (F(a,b,c)+F(c,b,a)))^2=\dfrac{32^2}{8}=128$

4# yizhong

呃，咋四元变三元了……

此题貌似是VISILE PHAM PHAN 这三个人的杰作，最早出现在06年，在05,06的时候VASILE也
造出了不少类似这样的BAT.

试下编号，引用一中的贴子先，顺便把代码改好一点。

根据已知条件和代征式子展开式我们可以定义如下式子
\[F(x,y,z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x},\]
其中这里 $x$, $y$, $z$ 为正数。
根据这个定义，我们可以容易得到
\begin{equation}\label{eqA}
\begin{aligned}
F(x,y,z)^2&=F(x^2,y^2,z^2)+2F(z,y,x),\\
F(z,y,x)^2&=F(z^2,y^2,x^2)+2F(x,y,z),
\end{aligned}
\end{equation}
所以根据定义式，我们可以将已知条件以及待证明的式子改写成为
\begin{align}
\sum (F(a,b,c)+F(c,b,a))&=32,\label{eqb}\\
\sum (F(a^2,b^2,c^2)+F(c^2,b^2,a^2))&\geqslant64,\label{eqB}
\end{align}
利用 \eqref{eqA} 的结论，我们可以得到要证明 \eqref{eqB}，相当于证明
\[\sum (F(a,b,c)^2+F(c,b,a)^2)\geqslant128,\]
接下去结合条件 \eqref{eqb} 只需要利用下c-s即可解决。
写得明白些就是
\[\sum (F(a,b,c)^2+F(c,b,a)^2)\geqslant\frac18\left(\sum (F(a,b,c)+F(c,b,a))\right)^2=\frac{32^2}{8}=128.\]

效果 very nice！