[不等式] Nice inequality.

For $a,b,c>0$ prove that:
\[ \frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\geq \frac{9}{a+b+c+3} \]

1# pxchg1200

蔡证过好像

a+b+c=1 时是一道经典题
如果没记错，蔡当时将他那证法发在了不等式小组的论坛上，现在上不了了，没法找出来。
只怪我的存档project太晚开始

这题很难的。 当然，用所谓的CYH技术就好多了。

这题很难的。 当然，用所谓的CYH技术就好多了。
pxchg1200 发表于 2012-8-11 20:35

什么叫“CYH技术”？

5# kuing


就是带那种特殊式子的Cauchy-Schwarz。。。。

啊哈哈哈！还好我连贴子的标题都记得，利用google的网页快照，把那贴子找出来了！如附件所示。

看了下贴里的证法好像就是你说的那技术？

也有点小佩服我自己的记忆力和搜索能力了

8# kuing


看不到。。。

9# pxchg1200

把rar下载下来解压出来不是一个mht文件吗？用浏览器打开就可以看了吧。

PS、如果看到了的话，注意一下那个过程中的（*）式有输入错误，但后面的应该是正确的。

可能要用 IE 打开，因为我刚才是用 IE 保存的。

proof:
by Cauchy-Schwarz inequality,
\[ \left(\sum{\frac{a}{b+c^2}}\right)\left[\sum{a(b+c^2)(2a+2b+c)^2}\right]\geq \left(2\sum{a^2}+3\sum{ab}\right)^{2} \]
So,it's suffice to prove
\[ \left(2\sum{a^2}+3\sum{ab}\right)^{2}\left(3+\sum{a}\right)\geq 9\sum{a(b+c^2)(2a+2b+c)^{2}} \]
Or
\[ \left(2\sum{a^2}+3\sum{ab}\right)^2\geq 3\sum{ab(2a+2b+c)^{2}} \]
and
\[ \left(2\sum{a^2}+3\sum{ab}\right)^2\left(\sum{a}\right)\geq 9\sum{c^2a(2a+2b+c)^2} \]
For the first inequality,it's
\[ 4\sum{a^4}+3\sum{a^2bc}\geq 7\sum{a^2b^2}\]
Which is obviously from the Schur in fourth degree.
For the second inequality.it's
\[ 4\sum{a^5}+7\sum{a^4b}+16\sum{a^4c}+18\sum{a^3bc}\geq 7\sum{a^3(b^2+c^2)}+31\sum{a^2b^2c}\]
Now,Using Schur in fifth degree,we have
\[ 4\sum{a^5}+4\sum{a^3bc}\geq 4\sum{a^4(b+c)}\geq 4\sum{a^3(b^2+c^2)}\]
also
\[ 3\sum{a^4(b+c)}\geq 3\sum{a^3(b^2+c^2)} \]
\[ 4\sum{a^4b}+4\sum{a^4c}+14\sum{a^3bc}\geq 22\sum{a^2b^2c}\]
Thus,just check
\[ \sum{a^4c}\geq \sum{a^2b^2c}\]
Or
\[ \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca \]
Which is obviously by AM-GM inequality.
Hence we are done!

10# kuing


依旧无图。。

12# pxchg1200

前面出奇的一样，后面有点不同，不过那不是关键

13# pxchg1200

用 IE 打开，可能还要等待一小会（海盗刚才说的）

不过你在群里也看到了，没所谓了

貌似这样也可以搞出来，$(\sum \dfrac{a}{b+c^2})(\sum a(b+c^2)(2a+2b+c)^2).......$ 后面的证明貌似p,q,r也可以。。。。。

17# yizhong

跟前面一样？

在回复之前没有看前面的帖子，这个题目在那份越南人的小册子有

12# pxchg1200


px....你在国外不？哇，我要向你学习英文答题的感觉啊