[不等式] 又是网友问不等式

月中影 08-10 22:18:09
设x,y,z是正数，a^(1/2)=x(y-z)^2,b^(1/2)=y(z-x)^2,c^(1/2)=z(x-y)^2;
求证：a^2+b^2+c^2>=2(ab+bc+ca)

用 $\LaTeX$ 打一下，就是
设 $x$, $y$, $z$ 是正数，$\sqrt a=x(y-z)^2$, $\sqrt b=y(z-x)^2$, $\sqrt c=z(x-y)^2$。求证
\[ a^2+b^2+c^2 \geqslant 2(ab+bc+ca). \]

oh，突然想起以前做过……http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=52&t=367372
条件那个根号原来是个提示……
没事了……

这个题目貌似是有几何背景的，很大程度上是从三角形中的不等式演变而来，因为从待证明的式子可以看出
从三角形中的那个面积公式：秦九韶-海伦公式可以看出，只是这里次方降为2次

3# yizhong

我那个贴里面的分解就是因为想起了“秦九韶-海伦公式”

说起这个秦九韶-海伦公式，顺道再PS一下，令我想起了一道骨灰级的88年的CMO中的
一道题目，貌似是第四题，题目中的第一小问就是：设三个正实数a,b,c满足：
$(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)$证明：a,b,c一定是某个三角形的三条边长。