测试

已知$a^{2}+b^{2}=3-ab,a>0,b>0$，求$a^{2}+b^{2}$的取值范围。

已知$a^{2}+b^{2}=3-ab,a>0,b>0$，求$a^{2}+b^{2}$的取值范围。
yuzi 发表于 2011-9-25 22:45

由 $a>0,b>0$ 得 $ab>0$ 得
\[a^2+b^2=3-ab<3，\]
当 $a\to0,b\to\sqrt3$ 时 $a^2+b^2\to3$，所以 $a^2+b^2$ 上确界为 3；
另一方面，由均值不等式得
\[a^2+b^2=3-ab \ge 3-\frac{a^2+b^2}{2}，\]
得到 $a^2+b^2\ge2$，当 $a=b=1$ 时取等号，所以 $a^2+b^2$ 最小值为 2。

1# yuzi


令$a=r\cos\alpha ,b=r\sin\alpha ,\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，则
$r^{2}=3-\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha $
$\Rightarrow r^{2}=\dfrac{6}{2+\sin2\alpha }\in [2,3)$

g fg  dg

1. $a^2+b^2=3-ab$

复制代码

$a^2+b^2=3-ab$

1. \[a^2+b^2=3-ab\]

复制代码

\[a^2+b^2=3-ab\]


$e^\beta＝\sin\beta$

$a_b_c$
$a_{b_c}$
${a_b}_c$

还有，如果嫌分式太小（实际上用美元符号括起来的表示行内(inline)公式，有时是会变小的），那么将 \frac 改成 \dfrac 就会变大。改后效果：$\Rightarrow r^{2}=\dfrac{6}{2+\sin2\alpha }\in [2,3)$

公式两边的 \$ 的前面不必加 \

引用也可以看代码么。。。

行内公式：$\$ $公式代码 $\$ $（分式会变小之类的那种）

行间公式：$\backslash$[公式代码$\backslash$]（独占一行且居中的那种，分式等不会变小）

哈哈

闪了

有用的三元不等式

    $ x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx $
   $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\ge a(b+c+d+e)$
      $(ab+bc+ca)^{2}\ge 3abc(a+b+c)$
      $ a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\ge abc(a+b+c)$
     $ a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)$
     $ 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$ a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\geq abc(a+b+c)$
   $ (a+b+c)^{2}\ge 3(ab+bc+ca)$
$ x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq (xy)^{2}+(yz)^{2}+(zx)^{2}\geq x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2}= xyz(x+y+z) $

（1）设 $h(x)=g(x)-f(x)=-8x^2-12x+k+3$，所以问题就转化为对于 $x\in [-3,3]$，都有 $h(x)\ge 0$ 的恒成立问题。则必须 $h(x)_{\min} \ge 0$。因为 $h(x)$ 是二次函数，且开口向下，故最小值必在端点取得，从而容易判断出 $h(x)_{\min}=h(3)=-72-36+k+3\ge 0$，故 $k\ge 105$；

（2）根据题意存在 $x\in [-3,3]$，使 $f(x)\le g(x)$ 成立，即只需 $h(x)=g(x)-f(x)=-8x^2-12x+k+3\ge 0$ 在 $x\in [-3,3]$ 内有解，则必须 $h(x)_{\max} \ge 0$，因为 $h(x)$ 是二次函数，且开口向下，对称轴为 $x=-\dfrac34$，从而 $h(x)_{\max} =h\left(-\dfrac34\right)=\dfrac{15}2+k\ge0$，故 $k\ge-\dfrac{15}2$；

$$
\begin{aligned}
&\quad 1+1=2,\\
&\quad 2+2=4,\\
&\boxed{\begin{aligned}
&3+3=6\\&4+4=8\end{aligned}}
\end{aligned}
$$

$e=mc^2\tag1$

波浪$~\sim~$号
波浪$~a\sim b~$号
波浪 $a\sim b$ 号
波浪$a\sim b$号

\cases{ax+by+c=0\\c^2=a^2+b^2}     $\cases{ax+by+c=0\\c^2=a^2+b^2}$

$\left\{\begin{aligned}ax+by+c&=0\\c^2&=a^2+b^2\end{aligned}\right.$



图图图图$\begin{cases}ax+by+c=0\\c^2=a^2+b^2\end{cases}$图图图图$\left\{\begin{aligned}&ax+by+c=0\\&c^2=a^2+b^2\end{aligned}\right.$图图图图$\left\{\begin{aligned}ax+by+c&=0\\c^2&=a^2+b^2\end{aligned}\right.$图图图图$\left\{\begin{aligned}ax+by+c=0\\ c^2=a^2+b^2\end{aligned}\right.$图图


kuing  13:58:10
$\cases{ax+by+c=0\\c^2=a^2+b^2}$

$f(x)=\cases{x+1&x>0\\x-1&x\le0}$

15# kuing


嘿嘿