[不等式] $\sum\frac{ab(a^2+b^2)}{\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\ge\sum a^2$

$a,b,c\ge 0$ \[\sum_{cyc} \frac{ab(a^2+b^2)}{\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\ge\sum_{cyc} a^2\]

本主题由 kuing 于 2013-1-19 17:08 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-8-6 14:41

左边看上去有点小，右边比较大，不等式居然成立，看来挺强，而且一个为0也能取等，估计难度不小。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

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3^#

发表于 2012-8-6 17:45

我做得有点复杂，但过程中还算比较顺利，主要是因为平方约去abc后发现竟然也不是很强，总是出乎我意料之外。

\begin{align*}
& \sum \frac{ab(a^2+b^2)}{\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\geqslant \sum a^2 \\
\iff{}&\sum ab(a^2+b^2)\sqrt{a^2+b^2} \geqslant \prod \sqrt{a^2+b^2} \sum a^2 \\
\iff{}&\sum a^2b^2(a^2+b^2)^3+2abc\sum a(a^2+b^2)(a^2+c^2)\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geqslant \prod(a^2+b^2)\left( \sum a^2 \right)^2,
\end{align*}
注意到 $a$, $b$, $c$ 中有一个为 $0$ 时不等式取等，所以 $\prod(a^2+b^2)\left( \sum a^2 \right)^2-\sum a^2b^2(a^2+b^2)^3$ 必定有 $a^2b^2c^2$ 的因式，通过待定系数就可以得到
\[\prod(a^2+b^2)\left( \sum a^2 \right)^2-\sum a^2b^2(a^2+b^2)^3=2a^2b^2c^2\left( 3\sum a^4+5\sum a^2b^2 \right),\]
因此，当 $abc=0$ 时原不等式成立，当 $abc\ne0$ 时，原不等式就等价于
\[\sum a(a^2+b^2)(a^2+c^2)\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geqslant abc\left( 3\sum a^4+5\sum a^2b^2 \right).\]

由柯西不等式，要证上式，只要证
\[\sum a(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a^2+bc)\geqslant abc\left( 3\sum a^4+5\sum a^2b^2 \right),\]
即
\[\sum a^3(a^2+b^2)(a^2+c^2)\geqslant 2abc\left( \sum a^4+\sum a^2b^2 \right),\]
也即
\[\sum \frac{a^2}{bc(b^2+c^2)}\geqslant \frac{2\left( \sum a^4 +\sum a^2b^2 \right)}{\prod(a^2+b^2)},\]
由均值不等式，要证上式，只要证
\[\sum \frac{a^2}{(b^2+c^2)^2}\geqslant \frac{\sum a^4 +\sum a^2b^2}{\prod(a^2+b^2)},\]
令 $a^2=x$, $b^2=y$, $c^2=z$, $x$, $y$, $z>0$，则上式等价于
\[\sum x(x+y)^2(x+z)^2 \geqslant \left( \sum x^2 +\sum xy \right)\prod(x+y).\]

到这里我也没什么好办法，还是老实展开算了，为方便书写，记 $s=\sum x$, $p=\sum x^2$, $q=\sum xy$，则有
\begin{align*}
\sum x(x+y)^2(x+z)^2 &=\sum x\bigl(x(x+y+z)+yz\bigr)^2 \\
& =s^2\sum x^3+2xyzs^2+xyzq \\
& =s^2\bigl((p-q)s+3xyz\bigr)+2xyzs^2+xyzq \\
& =s^3(p-q)+xyz(5s^2+q) \\
& =s(p+2q)(p-q)+xyz(5p+11q),
\end{align*}
以及
\[\left( \sum x^2+\sum xy \right)\prod(x+y)=(p+q)(sq-xyz),\]
所以
\begin{align*}
& \sum x(x+y)^2(x+z)^2-\left( \sum x^2+\sum xy \right)\prod(x+y) \\
={}&s(p+2q)(p-q)+xyz(5p+11q)-(p+q)(sq-xyz) \\
={}&s(p+2q)(p-q)-sq(p+q)+xyz(6p+12q) \\
={}&s(p^2-3q^2)+6xyzs^2 \\
={}&s\left( \sum x^4+2\sum x^2y^2-3\left( \sum x^2y^2+2xyz\sum x \right)+6xyzs \right) \\
={}&s\left( \sum x^4-\sum x^2y^2 \right) \\
\geqslant{}& 0,
\end{align*}
原不等式获证。