[数列] 数列个位数字

本帖最后由海盗船长于 2012-8-4 13:34 编辑

$\{x_n\}$满足$x_1=1$,$x_{n+1}=4x_n+\big[x_n\sqrt{11}\big]$,求$x_{2013}$的个位数字.

其中$\big[x\big]$，表示对$x$取整。

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:59 分类

yizhong

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2^#

发表于 2012-8-17 23:28

oh,第三届陈省身杯数学竞赛第二天的第七题

kuing

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3^#

发表于 2012-8-17 23:30

出处dang又来了

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

yizhong

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4^#

发表于 2012-9-16 11:12

此题也想到了一个比原解答好的路子，改天一起把那个数列题一起码下

kuing

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5^#

发表于 2012-9-16 12:57

一中niubility，这种题我可一点思路都木有了。

yizhong

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6^#

发表于 2012-9-17 20:23

本帖最后由 yizhong 于 2012-9-17 20:46 编辑

解：首先我们由题目的已知条件可以很容易的知道数列的每项都是为正整数
因为：$0<x_n\sqrt{11}-\big[x_n\sqrt{11}\big]<1,所以：$$\big[x_n\sqrt{11}\big]<x_n\sqrt{11}<\big[x_n\sqrt{11}\big]+1(1)$$
由题目的条件我们可以得到：$$x_{n+1}-4x_n<x_n\sqrt{11}<x_{n+1}-4x_n+1(2)$$ 由（2）易得：$$(4+\sqrt{11})x_n-1<x_{n+1}<(4+\sqrt{11})x_n(3)$$
由（3）我们又可以得到：$$4x_{n+1}-5x_n<x_{n+1}\sqrt{11}<4x_{n+1}-5x_n+4-\sqrt{11}(4)$$ 根据取整函数的定义我们由（4）就可以
得到：$$\big[x_{n+1}\sqrt{11}\big]=4x_{n+1}-5x_n(5)$$ 所以在$$n\geqslant2$$,且为整数的时候我们由（5）再结合题目的递推式我们就可以
得到：$$x_{n+1}=8x_n-5x_{n-1}（6）$$ 由（6）我们又可以得到：$$x_{n+2}\equiv-x_n (mod10)(7)$$ 由题目的条件我们可得到：$$x_2=7
所以结合（7）式我们很容易得到x_{2013}（原题是x_{2012}）的个位数字$ 完毕

yizhong

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7^#

发表于 2012-9-17 21:47

晚上比较匆忙，所以暂且就此停笔，另外说明下，根据题目的意思只需要由首项再结合（7）式就可以得到题目所要求的，好了，现在爪机ing就说到这里~~~~

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