[不等式] 函数值域

本帖最后由 v6mm131 于 2012-8-2 13:09 编辑

这道题是去年给高一的期中考试试题，是不是难了，征集大家的解法

sqrt(x^2-x^4)+sqrt(2x^2-x^4)

复制代码

的最大值是多少？

本主题由 kuing 于 2013-1-19 17:11 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-8-2 11:12

看置顶贴学写公式代码先 v6

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

海盗船长

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3^#

发表于 2012-8-2 11:59

哪有绝对值啊？

kuing

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4^#

发表于 2012-8-2 14:46

高一怎么做啊？除了求导或数形结合（都先换元再说）之外没什么想法

kuing

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5^#

发表于 2012-8-2 15:27

待定系数法也行，先换元 $x^2=t\in[0,1]$，然后待定两个正数 $a$, $b$，有
\begin{align*}
\sqrt{x^2-x^4}+\sqrt{2x^2-x^4}&=\sqrt{t(1-t)}+\sqrt{t(2-t)}\\
&=\sqrt{at\cdot \frac1a(1-t)}+\sqrt{bt\cdot \frac1b(2-t)} \\
& \leqslant \frac12\left( at+\frac1a(1-t)+bt+\frac1b(2-t) \right) \\
& =\frac1{2a}+\frac1b+\left( a-\frac1a+b-\frac1b \right)\frac t2,
\end{align*}
取等条件为
\[\left\{\begin{aligned}
a-\frac1a+b-\frac1b&=0, \\
\frac1a(1-t)&=at, \\
\frac1b(2-t)&=bt,
\end{aligned}\right.\]
解得
\[\left\{\begin{aligned}
a&=\frac{\sqrt2}2, \\
b&=\sqrt2, \\
t&=\frac23,
\end{aligned}\right.\]
……

kuing

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6^#

发表于 2012-8-2 15:38

擦，还是CS好使
\begin{align*}
\sqrt{x^2-x^4}+\sqrt{2x^2-x^4}&=\sqrt{x^2}\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2-x^2}\sqrt{x^2} \\
& \leqslant \sqrt{(x^2+2-x^2)(1-x^2+x^2)} \\
& =\sqrt2,
\end{align*}
取等略……