锐角、钝角三角形集合的势

证明或否定$\{锐角三角形\}$和$\{钝角三角形\}$等势。

思路还是沿着我在群里说的“将同周长的拿到一起，再用两个角度对应一下”，只不过后面对应的时候有点麻烦，得注意边界的细节。

首先将 $\{\text{锐角三角形}\}$ 和 $\{\text{钝角三角形}\}$ 分别用别的等势集合写出来。
设某锐角三角形的周长为 $C$，三个内角为 $x$, $y$, $\pi-x-y$，其中 $0<x\leqslant y\leqslant \pi-x-y$ 且 $x + y > \pi/2$，显然 $C$, $x$, $y$ 一一对应着任意锐角三角形，所以 $\{\text{锐角三角形}\}$ 就与如下有序三元数组集合等势：
\[\left\{ (C,x,y) \middle| C>0,0<x\leqslant y\leqslant \pi-x-y, x + y > \frac\pi2 \right\}.\]
类似地，与 $\{\text{钝角三角形}\}$ 等势的有序三元数组集合可以写成
\[\left\{ (C,x,y) \middle| C>0,0<x\leqslant y, x + y < \frac\pi2 \right\}.\]
于是我们只要构造这两个集合的一一对应。第一个 $C$ 直接对应就行（也就是最前面说的“将同周长的拿到一起”了），剩下只要将后面的对应好，也就变成平面区域的对应了。
两平面区域 $M=\{(x,y)|0<x\leqslant y\leqslant \pi-x-y, x + y > \pi/2\}$, $N=\{(x,y)|0<x\leqslant y, x + y < \pi/2\}$ 的图形如下图。

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2012-7-31 23:36

本来以为很好办，只要直接反射过去就行，但细想发现麻烦的地方在于边界，直接翻过去边界就对应不上了。
后来想到分割再对应，为方便起见，就以第一个图的 $y=\pi/3$ 切开再分别对应到第二个图上（如图所示），这样就OK了。

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2012-8-1 00:06

具体地，可以将对应关系用如下表达式写出来：
若 $y\geqslant\pi/3$，则
\[M \to N : (x,y) \to \left(-\frac{7\pi}8+\frac{3x}4+\frac{9y}4,\frac{17\pi}8-\frac{9x}4-\frac{15y}4\right);\]
若 $y<\pi/3$，则
\[M \to N : (x,y) \to \left(-\frac{3\pi}8+\frac{3x}4+\frac{3y}4,-\frac{3\pi}8-\frac{9x}4+\frac{15y}4\right).\]

话说能不能证明任意一个平面区域（无论边界情况如何）都和 $[0,1]^2$ 等势？如果成立的话，那么就能直接得到上题的等势了。
又因为 $[0,1]$ 和 $[0,1]^2$ 等势是有现成的构造了，也就是任意线段都和 $[0,1]^2$ 等势（线段无论端点取不取都等势，见），这样还能得到与 $\{\text{直角三角形}\}$ 也等势了。

3# kuing

(0,1)和整条直线等势很轻松吧，(0,1)×(0,1)和整个平面等势也一样啊

只要包含一条线段，那至少是连续统的势了，而整个平面也不过是连续统的势，你想要的“平面区域”当然没问题了。（这样直接用简单比较而不是构造，需要势的三歧性定理/选择公理，不过一般不特别说明应该是认可选择公理的，这里应该不会去研究换一种选择公理会怎么样吧）

4# ①②③④⑤⑥⑦

连续统神马的不太了解……

aaa