谈谈导函数的介值性定理

本帖最后由都市侠影于 2012-9-13 12:39 编辑

在考研论坛看到很多人对导函数的介值性定理很困惑，对于连续函数的介值性倒是比较理解。在我看来，可能是导函数的介值性定理没有连续函数的介值性那样的如雷贯耳，使得很多人一提到介值性就想到了连续函数，事实上，介值性不是连续函数所特有的特性。在本帖子里，详细说一下这个定理和它的证明，看完了应该就没问题了。

导函数介值性定理：对一个在某区间上连续并且可导的函数，它的导函数满足介值性。具体地说，假如 $M$ 与 $N$ 是两个点处的导函数值，那么位于 $M$ 与 $N$ 之间的任何数都能成为某点处的导函数值。

要注意的是这里说的是导函数的介值性，并没有提到导函数是否连续，不要认为导函数是因为连续而具有介值性，事实上，不连续的导函数是存在的，想必例子也是容易找的，这里就不列举了，只是提醒注意这个介值性并不是连续所导致的。
为什么会具有这样的介值性呢，它的本质在于连续函数在闭区间上必有最大值，如果这个最大值不在区间的端点上，那么在函数可导的前提下，这个最大值就成为一个极值，从而在这里的导函数值为零。

证明：为了简化证明，假定函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导（当然在端点处就存在单侧的导数了），任取 $f'(a)<C<f'(b)$，都存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi)=C$.
为了证明这一点，构造一个函数 $h(x)=f(x)-Cx$，于是 $h(x)$ 也在闭区间上连续，开区间上可导，端点处存在单侧导数，而且 $h'(a)<0<h'(b)$，这说明：两个端点都存在他们各自的一个邻域，使得在这个邻域上，左端点附近有小于左端点函值点的点，右端点附近也有比右端点函数值更小的点，从而左右端点都不可能是函数 $h(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最小值，但是根据 $h(x)$ 的连续性，这个最小值是存在的，所以只能是在开区间内某一点 $\xi$ 处取得，所以 $h'(\xi)=0$，也就是 $f'(\xi)=C$，证毕。