[函数] 这道求“复合函数”定义域问题是否无解？

若函数$f(|2x-1|)$的定义域$[0,2]$，则函数$f(x)$的定义域是____?

如果将原是中的绝对值去掉，应该大家观点一致，结果是：$[-1,3]$。

但加绝对值后，是否无解？或者说定义域不确定？

本主题由 kuing 于 2013-1-19 18:16 分类

kuing

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2^#

发表于 2012-7-30 01:41

这种题通常都有问题。

首先如果这里说的“定义域”是指所谓的“自然定义域”的话，那么条件就已经有问题了，$f(|2x-1|)$ 的定义域不会是 $[0,2]$，因为 $x$ 既然能取 $2$，那么必然也能取 $-1$。而如果不是指“自然定义域”的话，那就是可以自己随意限制，只要使函数有意义就行，那么后面问的定义域我也可以随便说了。

那么如果要使“自然定义域”适用的话，就得改条件，比如我就改成 $f(|2x-1|)$ 的定义域是 $[-1,2]$，就不会出现前面的问题，自然定义域OK了，但后面仍有问题（这才是重点），比如：
设常数 $a<0$，令
\[f(x)=\begin{cases}
0, & x=0~\text{或}~x=3,\\
\ln(x(x-3)(a-x)),& x<a~\text{或}~0<x<3,
\end{cases}\]
那么 $f(|2x-1|)$ 的定义域为 $[-1,2]$，而 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,a)\cup[0,3]$，因 $a$ 而异。

故此……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
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