一道数学培训题

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2012-7-29 22:15

一道数学培训题

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给定了 $n>1$ 个二次三项式 $x^2-a_1x+b_1$, $\ldots$, $x^2-a_nx+b_n$，其中 $2n$ 个实数 $a_1$, $\ldots$, $a_n$, $b_1$, $\ldots$, $b_n$ 互不相同。试问，是否可能 $a_1$, $\ldots$, $a_n$, $b_1$, $\ldots$, $b_n$ 中的每个数都是其中某个多项式的根？

似乎可以有 $\sum a_i+b_i = \sum a_i$,$\prod a_ib_i = \prod b_i$得到$\sum b_i=0,\prod a_i=1$
然后？

2# tan9p

若存在则等价于
\begin{align*}
&(x^2-a_1x+b_1)(x^2-a_2x+b_2)\cdots(x^2-a_nx+b_n)\\
={}&(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)(x-b_1)(x-b_2)\cdots(x-b_n),
\end{align*}
展开，对比常数项得 $\prod b_i=\prod a_ib_i$，对比 $x^{2n-1}$ 的系数得 $\sum a_i=\sum (a_i+b_i)$（即楼上的两式），但仅凭这两式还不够用，估计得把其他的项的系数都也对比上才行（大概就是去证明那堆方程组的解与题设矛盾），但那些项的有点复杂，暂时也没想到什么好的办法。

http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=36&t=491446

牛！

来个比较简洁的证明吧 我们可以用反证法来证明
假设可以做到题目中的要求，则我们就有：由于$a_1,a_2.....a_n,  b_1,b_2....b_n这2n个实数互不相同
所以n个一元二次方程的根的集合刚好是这2n个实数$  我们设每个方程的根为：$c_i  d_i(i=1,2...n)
则我们由韦达定理得到：a_i=c_i +d_i(1)  b_i=c_i.d_i(2)  (i=1,2...n)$
所以我们由（1）就有：$\sum_ {i=1}^{n}b_i=0(3)$,利用：$c_i ^2+d_i^2=(c_i +d_i)^2-2c_i.d_i=a_i^2-2b_i$
再结合（3）我们可以得到：$\sum_ {i=1}^{n}b_i^2=0$  所以我们得到所有的$b_i$都为0,矛盾。所以题目的答案是不可能的。

6# yizhong

6# yizhong
太棒了！