双勾函数乃双曲线是也

\begin{align*}
&y = x + \frac1x\\
\iff& xy = x^2 + 1\\
\xrightarrow{\measuredangle = \frac\pi8}&\left(x\cos\frac\pi8 + y\sin\frac\pi8\right)\left(y\cos\frac\pi8 - x\sin\frac\pi8\right) = \left(x\cos\frac\pi8 + y\sin\frac\pi8\right)^2 + 1\\
\iff& \cos \frac{\pi }{8}\sin \frac{\pi }{8}(y^2 - x^2 ) + \left( {\cos ^2 \frac{\pi }{8} - \sin ^2 \frac{\pi }{8}} \right)xy = x^2 \cos ^2 \frac{\pi }{8} + y^2 \sin ^2 \frac{\pi }{8} + 2xy\cos \frac{\pi }{8}\sin \frac{\pi }{8} + 1\\
\iff& \cos \frac{\pi }{8}\sin \frac{\pi }{8}(y^2 - x^2 ) + xy\cos \frac{\pi }{4} = x^2 \cos ^2 \frac{\pi }{8} + y^2 \sin ^2\frac{\pi }{8} + xy\sin \frac{\pi }{4} + 1 \\
\iff& \left( {\cos ^2 \frac{\pi }{8} + \cos \frac{\pi }{8}\sin \frac{\pi }{8}} \right)x^2 + \left( {\sin ^2 \frac{\pi }{8} -\cos \frac{\pi }{8}\sin \frac{\pi }{8}} \right)y^2 + 1 = 0\\
\iff& \left( {\frac{{\cos \frac{\pi }{4} + 1}}{2} + \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{2}} \right)x^2 + \left( {\frac{{1 - \cos\frac{\pi }{4}}}{2} - \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{2}} \right)y^2 + 1 = 0\\
\iff& \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}x^2 + \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}y^2 + 1 = 0
\end{align*}

其实吧，有那个等价的式子，显然两次曲线，非退化，有两条渐近线，不是双曲线还能是什么（或者用系数判别式），后面的无非是标准化的过程，例行公事

允许仿射变换的话，直接有

$x(y-x)=1$

$x' y' =1$

后者是双曲线前者也必然是双曲线，不过这不是初等几何了

呃，其实这是回复群里的，他们还不知道这些，倒是知道旋转公式，刚开始还代错了，后来我代正确的就写了下在这。

$y=x+\dfrac1x$是双曲线，离心率$e_1=$？
$y=x-\dfrac1x$也是双曲线，离心率$e_2=$？