一道微元法

设在坐标原点有一质量为m的质点，在区间$\[a,a+l],a>0$有一质量为M的均匀细杆，求它们的万有引力.

取一段质量微元dM,     $dM=\frac{l}{M}dx$
$\frac{Gm\mathrm{d}m}{(x+a)^2}$

后面积分区间积出来的答案和标答对不上

以前做过，好像等效于几何平均数那里

在杆上取与质点距离为 $R$ 的一小段，则
\[dF=\frac{G(dM)m}{R^2}=\frac{GMm}{R^2l}dR\]
故
\[F=\int_a^{a+l}\frac{GMm}{R^2l}dR=\frac{GMm}l\int_a^{a+l}{R^{-2}dR}=\frac{GMm}l\left(\frac1a-\frac1{a+l}\right)=\frac{GMm}{a(a+l)}\]
可见此力大小等于两质点质量为 $M$ 和 $m$ 且距离为 $\sqrt{a(a+l)}$ 时的引力，也就是上楼所说的几何平均数那里。

取一段质量微元dM,     $dM=\frac{l}{M}dx$
$\frac{Gm\mathrm{d}m}{(x+a)^2}$

后面积分区间积出来的答案和标答对不上
★_/ka_☆ 发表于 2012-7-28 14:27

应该是 $dM=\frac{M}{l}dx$